【題目】如圖所示,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG⊥x軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由.
【答案】(1)A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2)4;(3)M點的坐標為(-2,3),(,),(4,15).
【解析】
試題分析:(1)拋物線與x軸的交點,即當y=0,C點坐標即當x=0,分別令y以及x為0求出A,B,C坐標的值;
(2)四邊形ACBP的面積=△ABC+△ABP,由A,B,C三點的坐標,可知△ABC是直角三角形,且AC=BC,則可求出△ABC的面積,根據(jù)已知可求出P點坐標,可知點P到直線AB的距離,從而求出△ABP的面積,則就求出四邊形ACBP的面積;
(3)假設存在這樣的點M,兩個三角形相似,根據(jù)題意以及上兩題可知,∠PAC和∠MGA是直角,只需證明或即可.設M點坐標,根據(jù)題中所給條件可求出線段AG,CA,MG,CA的長度,然后列等式,分情況討論,求解.
試題解析:(1)令y=0,
得x2-1=0
解得x=±1,
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);
(2)∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°.
∵AP∥CB,
∴∠PAB=∠CBO=45°.
過點P作PE⊥x軸于E,則△APE為等腰直角三角形,
令OE=a,則PE=a+1,
∴P(a,a+1).
∵點P在拋物線y=x2-1上,
∴a+1=a2-1.
解得a1=2,a2=-1(不合題意,舍去).
∴PE=3.
∴四邊形ACBP的面積S=ABOC+ABPE=×2×1+×2×3=4;
(3)假設存在
∵∠PAB=∠BAC=45°,
∴PA⊥AC
∵MG⊥x軸于點G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3
設M點的橫坐標為m,則M(m,m2-1)
①點M在y軸左側時,則m<-1.
(。┊敗鰽MG∽△PCA時,有.
∵AG=-m-1,MG=m2-1.
即
解得m1=-1(舍去)m2=(舍去).
(ⅱ)當△MAG∽△PCA時有,
即.
解得:m=-1(舍去)m2=-2.
∴M(-2,3).
②點M在y軸右側時,則m>1
(。┊敗鰽MG∽△PCA時有
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴
解得m1=-1(舍去)m2=.
∴M(,).
(ⅱ)當△MAG∽△PCA時有,
即.
解得:m1=-1(舍去)m2=4,
∴M(4,15).
∴存在點M,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為(-2,3),(,),(4,15).
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【題目】通過移項,將下列方程變形,錯誤的是( )
A. 由2x﹣3=﹣x﹣4,得2x﹣x=﹣4+3B. x+2=2x﹣7,得x-2x=﹣2-7
C. 5y﹣2=﹣6,得5y=﹣4D. 由x+3=2﹣4x,得5x=﹣1
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【題目】沈陽地鐵一號線的開通運行給沈陽市民的出行方式帶來了一些變化.小王和小林準備利用課余時間,以問卷的方式對沈陽市民的出行方式進行調查.如圖是沈陽地鐵一號線圖(部分),小王和小林分別從太原街站(用A表示)、南市場站(用B表示)、青年大街站(用C表示)這三站中,隨機選取一站作為調查的站點.
⑴在這三站中,小王選取問卷調查的站點是太原街站的概率是多少?(請直接寫出結果)
⑵請你用列表法或畫樹狀圖(樹形圖)法,求小王選取問卷調查的站點與小林選取問卷調查的站點相鄰的概率.(各站點用相應的英文字母表示)
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【題目】觀察、思考、解答: ( ﹣1)2=( )2﹣2×1× +12=2﹣2 +1=3﹣2
反之3﹣2 =2﹣2 +1=( ﹣1)2
∴3﹣2 =( ﹣1)2
∴ = ﹣1
(1)仿上例,化簡: ;
(2)若 ,則m、n與a、b的關系是什么?并說明理由;
(3)已知x= ,求( ) 的值(結果保留根號)
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【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF,解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關系是什么?寫出它們之間的數(shù)量關系.
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結論是否仍然成立,請證明?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動.試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點C、F重合除外)?直接寫出條件,不需要證明.
(3)若AC=4 ,BC=3,在(2)的條件下,求△ABC中AB邊上的高.
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【題目】如圖所示,直線a經過正方形ABCD的頂點A,分別過頂點B、D作DE⊥a于點E、BF⊥a于點F,若DE=4,BF=3,則EF的長為 .
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【題目】問卷調查有下列步驟,請按順序排列為 (填序號).
①發(fā)下問卷讓被調查人填寫;②設計問卷;③對問卷的數(shù)據(jù)收集整理;④收起問卷.
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