Question

【題目】如圖，已知直線，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

（1）若點(diǎn)在線段（、兩點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，問，，之間的關(guān)系是什么？這種關(guān)系是否變化？

（2）若點(diǎn)在線段之外時(shí)，，，之間的關(guān)系怎樣？說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）∠APB=∠PAC +∠PBD，不會(huì)變化；（2）∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB，理由見解析．

【解析】

（1）當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先過點(diǎn)P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD，即∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系不發(fā)生變化；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由直線l1∥l2，根據(jù)兩直線平行，同位角相等以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：過點(diǎn)P作PE∥l1，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD，

即∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系不發(fā)生變化；

（2）如圖②，

當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l1上方時(shí)，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：∵l1∥l2，

∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l2下方時(shí)，∠PAC=∠PBD+∠APB．

如圖③，

理由如下：∵l1∥l2，

∴∠PED=∠PAC，

∵∠PED=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．