Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于A 、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C ．點A和點B間的距離為2， 若將二次函數(shù)的圖象沿y軸向上平移3個單位時，則它恰好過原點，且與x軸兩交點間的距離為4．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在二次函數(shù)的圖象的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為D，在x軸上是否存在這樣的點F，使得？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，（2，3）；（3）存在，（-1，0）或（5，0）．

解析試題分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對稱軸承，從而由求得A，B的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，知直線AC與直線x=2的交點P就是到B、C兩點距離之差最大的點，因此求出直線AC的方程，即可求得點P坐標(biāo)．
（3）首先證明△BCD是直角三角形并求出BC，BD的值，得到，從而只要求出使時點F的坐標(biāo)即可．
試題解析：（1）∵平移后的函數(shù)圖象過原點且與x軸兩交點間的距離為4，
∴平移后的函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標(biāo)為（0，0）,(4,0)或（0，0），（-4，0）．
∴它的對稱軸為直線x=2或x=-2．
∵拋物線與x軸的正半軸交于A、B兩點，
∴拋物線關(guān)于直線x=2對稱．
∵它與x軸兩交點間的距離為2，且點A 在點B的左側(cè)，
∴其圖象與x軸兩交點的坐標(biāo)為A（1，0）、B(3,0)．
由題意知，二次函數(shù)的圖象過C（0，-3），
∴設(shè)．
∴，解得．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）∵點B關(guān)于直線x=2的對稱點為A（1，0），
設(shè)直線AC的解析式為，
∴，解得．
∴直線AC的解析式為．
直線AC與直線x=2的交點P就是到B、C兩點距離之差最大的點．
∵當(dāng)x=2時，y=3，∴點P的坐標(biāo)為（2，3） ．
（3）在x軸上存在這樣的點F，使得， 理由如下：
拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（2，1），
設(shè)對稱軸與x軸的交點為點E，
在中，∵，∴．
在中，∵，∴．
∴．
在中，∵，∴．
∵軸，，∴．
∵E（2，0），
∴符合題意的點F的坐標(biāo)為F₁（-1，0）或F₂（5，0）．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．平移問題；3．待定系數(shù)法的應(yīng)用；4．曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5．軸對稱的應(yīng)用（距離差最大問題）；6．二次函數(shù)的性質(zhì)；7．銳角三角函數(shù)定義；8．分類思想的應(yīng)用．