Question

（2012•鄂州）已知：如圖一，拋物線y=ax²+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x-2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且AB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E，D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；設(shè)s=

ED+OP

ED•OP

，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)直線AC的解析式確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，已知AB的長(zhǎng)，進(jìn)一步能得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．
（2）根據(jù)所給的s表達(dá)式，要解答該題就必須知道ED、OP的長(zhǎng)；BP、CE長(zhǎng)易知，那么由OP=OB-BP求得OP長(zhǎng)，由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長(zhǎng)，再代入s的表達(dá)式中可得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到s的最小值．
（3）首先求出BP、BD的長(zhǎng)，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，已知的條件是公共角∠OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論即可．

解答：解：（1）由直線：y=x-2知：A（2，0）、C（0，-2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0-2）（0-4）=-2，解得 a=-

1

4

∴拋物線的解析式：y=-

1

4

（x-2）（x-4）=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而 OP=OB-BP=4-2t；
∴s=

ED+OP

ED•OP

=

2t+4-2t

2t•(4-2t)

=

1

-(t-1)2+1

（0＜t＜2），
∴當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值，且最小值為 1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 BC=2

5

；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，則 CD=

5

t；
∴BD=BC-CD=2

5

-

5

t；
以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，則有兩種情況：
①

BP

BC

=

BD

AB

?

2t

2 5

=

2 5 - 5 t

2

，解得 t=

10

7

；
②

BP

AB

=

BD

BC

?

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，解得 t=

2

3

；
綜上，當(dāng)t=

2

3

或

10

7

時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)；（2）題得到的函數(shù)與平常所見(jiàn)的二次函數(shù)有所不同，但只要把握住分式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可正確解出答案；（3）題中需要注意的是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊并沒(méi)有明確，需要進(jìn)行分類討論．