Question

11．如圖，經(jīng)過點A（0，-2）的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于點B（-1，0）和C，D為第四象限內(nèi)拋物線上一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點D作y軸的平行線交AC于點E，若AD=AE，求點D的坐標；
（3）連接BD交AC于點F，求$\frac{DF}{BF}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A、B點在拋物線上，將其代入拋物線方程，即可得出b、c的值，從而得出結論；
（2）過A點作AH⊥DE，垂足為H，設出D點坐標（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），用含m的代數(shù)式表示出E點坐標，由AD=AE，可得知H點坐標，根據(jù)DH=EH即可算出m值，從而得到D點坐標；
（3）借用相似三角形的相似比，可用含m的代數(shù)式表示出來$\frac{DF}{BF}$，再按極值問題處理即可得出結論．

解答 解：（1）∵點A（0，-2）和點B（-1，0）均在拋物線上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）過點A作AH⊥DE，垂足為H，如圖1．

在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中，令y=0得，x=-1或x=4，
∴點C坐標為（4，0）．
∵點A坐標為（0，-2），
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
設點D坐標為（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），
則點E坐標為（m，$\frac{1}{2}$m-2），點H坐標為（m，-2）．
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，即-2-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2）=$\frac{1}{2}$m-2-（-2），
解得m₁=2，m₂=0（不合題意，舍去）．
此時，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2=-3，
∴點D的坐標為（2，-3）．
（3）過點D作DG⊥AC，垂足為G，連接AB，DE交x軸于點P，如圖2．

由（2）得，DE=-$\frac{1}{2}$m²+2m．
∵點A（0，-2），點B（-1，0），點O（0，0），點C（4，0），
∴AB=$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{5}$，BC=5，OC=4，OA=2．
∵DE∥y軸，DG⊥AC，
∴∠DGE=∠CPE=90°，
∵∠DEG=∠CEP（對頂角），
∴∠EDG=∠ECP=∠ACO．
又∵∠DGE=∠COA=90°，
∴△DGE∽△COA，
∴$\frac{DG}{DE}$=$\frac{CO}{CA}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DG=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$DE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（m²-4m）．
∵AB=$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{5}$，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
又∵∠DFG=∠BFA，
∴△DGF∽△BAF．
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DG}{AB}$=-$\frac{1}{5}$（m²-4m）=-$\frac{1}{5}$（m-2）²+$\frac{4}{5}$．
∴$\frac{DF}{BF}$的最大值為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵：（1）代入點的坐標求出b、c；（2）設出D點坐標（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），借用線段間的相等關系求出m；（3）借助相似三角形的對應邊比等于相似比得出含m的代數(shù)式，利用求極值方法得出結論．