Question

【題目】如圖1，已知函數(shù)y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．

（1）求直線BC的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．

①若△PQB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

②在①的條件下，在直線PQ上找一點(diǎn)R，使得△MOR≌△MOQ，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；

（3）連接BM，如圖2．若∠BMP＝∠BAC，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①M（，0）或M（﹣，0）；②點(diǎn)R的坐標(biāo)為（﹣，﹣﹣2）或（，﹣2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)B坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線BC解析式；

（2）①先表示出PQ，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）分點(diǎn)M在y軸左側(cè)和右側(cè)，由對(duì)稱得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，當(dāng)∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程，即可得出結(jié)論．

（1）解：對(duì)于y＝x+2，

由x＝0得：y＝2，

∴B（0，2）

由y＝0得：y＝x+2＝0，解得x＝﹣6，

∴A（﹣6，0），

∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴C（6，0），

設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b

解得，

∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+2；

（2）解：①設(shè)M（m，0），

則P（m，m+2）、Q（m，﹣m+2），

如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥PQ于點(diǎn)D，

∴PQ＝|（﹣m+2）﹣（m+2）|＝|m|，

BD＝|m|，

∴S△PQB＝PQBD＝×m2＝，

解得m＝，

∴M（，0）或M（﹣，0）；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，

∵△MOR≌△MOQ，

∴MR＝MQ＝﹣×（﹣）+2＝+2，

∵R（﹣，﹣﹣2），

當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖3，

∵△MOR≌△MOQ，

∴MR＝MQ＝﹣×（）+2＝2﹣，

∵R（，﹣2），

綜上所述，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（﹣，﹣﹣2）或（，﹣2）；

（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，

∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱

∴AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA

∵∠BMP＝∠BAC，

∴∠BMP＝∠BCA

∵∠BMP+∠BMC＝90°，

∴∠BMC+∠BCA＝90°，

∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，

∴BM2+BC2＝MC2，

設(shè)M（x，0），則P（x，x+2），

∴BM2＝OM2+OB2＝x2+4，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+22＝40，

∴x2+4+40＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，

∴P（﹣，），

當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖3，

同理可得P（，），

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．