Question

15．已知：如圖，QA切⊙O于點A，QB交⊙O于B和C兩點，P是$\widehat{BC}$上任意一點，∠P=105°，∠AOC=64°，求∠Q的度數．

Answer 1

分析 連接AC，構建四點共圓，根據圓內接四邊形對角互補得：∠BAC=75°，根據圓周角和圓心角的關系求出∠BOC=2∠BAC=150°，利用周角定義求∠AOB的度數，再由等腰三角形的性質和三角形內角和得出結論．

解答 解：連接AC，
∵A、B、P、C四點共圓，
∴∠P+∠BAC=180°，
∵∠P=105°，
∴∠BAC=180°-105°=75°，
∴∠BOC=2∠BAC=150°，
∵OB=OC，
∴∠BOC=$\frac{180°-150°}{2}$=15°，
∵∠BOC=150°，∠AOC=64°，
∴∠AOB=360°-150°-64°=146°，
∵OB=OA，
∴∠ABO=∠OAB=17°，
∵QA為⊙O的切線，
在△ABQ中，∴∠Q=180°-17°-15°-17°-90°=41°．

點評 本題考查了切線的性質、四點共圓的性質，同弧所對的圓周角和圓心角的關系、等腰三角形的性質，屬于基礎題，熟練掌握各性質是關鍵，依次求出△ABQ其它各角的度數即可．