【題目】如圖(1),Rt△AOB中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=,∠AOB的平分線OC交AB于C,過O點(diǎn)做與OB垂直的直線ON.動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC﹣CO以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動,運(yùn)動時間為t秒,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO﹣ON以相同的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時P、Q同時停止運(yùn)動.
(1)求OC、BC的長;
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動時,如圖(2),設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時,△OPM為等腰三角形?求出所有滿足條件的t值.
【答案】(1)OC=2,BC=2;(2)S與t的函數(shù)關(guān)系式是:S=;(3)當(dāng)t為或時,△OPM是等腰三角形.
【解析】整體分析:
(1)先求出OA,判斷OC=CB,再在Rt△AOC中用勾股定理列方程求解;(2)分點(diǎn)P在BC上,與點(diǎn)C重合,在CO上,與點(diǎn)O重合四種情況分類討論,注意畫出相應(yīng)的圖形,利用三角形的面積公式和三角形面積的和差關(guān)系求解;(3)因?yàn)榈妊切蔚难淮_定,所以需要分三種情況討論,利用等腰三角形的性質(zhì)列方程求解.
(1)解:∵∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2,
∴∠B=30°,∴OA=OB=,
由勾股定理得:AB=3,
∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B,∴OC=BC,
在△AOC中,AO2+AC2=CO2,∴()+(3﹣OC)2=OC2,∴OC=2=BC,
答:OC=2,BC=2.
(2)解:①當(dāng)P在BC上,Q在OC上時,0<t<2,則CP=2﹣t,CQ=t,
過P作PH⊥OC于H,∴∠HCP=60°,∠HPC=30°,
∴CH=CP=(2﹣t),HP=(2﹣t),
∴S△CPQ=CQ×PH=×t×(2﹣t),
即S=﹣t2+t;
②當(dāng)t=2時,P在C點(diǎn),Q在O點(diǎn),此時,△CPQ不存在,
∴S=0,
③當(dāng)P在OC上,Q在ON上時2<t<4,
<>過P作PG⊥ON于G,過C作CZ⊥ON于Z,∵CO=2,∠NOC=60°,∴CZ=,CP=t﹣2,OQ=t﹣2,∠NOC=60°,
∴∠GPO=30°,∴OG=OP=(4﹣t),PG=(4﹣t),
∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=×(t﹣2)×﹣×(t﹣2)×(4﹣t),
即S=t2﹣t+.
④當(dāng)t=4時,P在O點(diǎn),Q在ON上,如圖(3)
過C作CM⊥OB于M,CK⊥ON于K,
∵∠B=30°,由(1)知BC=2,∴CM=BC=1,
有勾股定理得:BM=,
∵OB=2,∴OM=2﹣==CK,∴S=PQ×CK=×2×=;
綜合上述:S與t的函數(shù)關(guān)系式是:S=;
(3)解:如圖(2),∵ON⊥OB,∴∠NOB=90°,
∵∠B=30°,∠A=90°,∴∠AOB=60°,
∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=30°,∴∠NOC=90°﹣30°=60°,
①OM=PM時,∠MOP=∠MPO=30°,
∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠MPO=90°,
∴OP=2OQ,∴2(t﹣2)=4﹣t,解得:t=,
②PM=OP時,∠PMO=∠MOP=30°,
∴∠MPO=120°,∵∠QOP=60°,∴此時不存在;
③OM=OP時,過P作PG⊥ON于G,OP=4﹣t,∠QOP=60°,
∴∠OPG=30°,∴GO=(4﹣t),PG=(4﹣t),
∵∠AOC=30°,OM=OP,∴∠OPM=∠OMP=75°,
∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠QPO=45°,∴PG=QG=(4﹣t),
∵OG+QG=OQ,∴ (4﹣t)+(4﹣t)=t﹣2,解得:t=
綜合上述:當(dāng)t為或時,△OPM是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠ABE為多少度時,四邊形BEDF是菱形?請說明理由.
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【題目】如圖,在四邊形 ABCD 中,AD∥BC,E 為 CD 的中點(diǎn),連接 AE、BE,延長 AE 交 BC 的 延長線于點(diǎn) F.
(1)△DAE 和△CFE 全等嗎?說明理由;
(2)若 AB=BC+AD,說明 BE⊥AF;
(3)在(2)的條件下,若 EF=6,CE=5,∠D=90°,你能否求出 E 到 AB 的距離?如果能 請直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知多項(xiàng)式x3﹣3xy2﹣4的常數(shù)是a,次數(shù)是b.
(1)則a=_____,b=_____;并將這兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)A、B表示出來;
(2)數(shù)軸上在B點(diǎn)右邊有一點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之和為11,求點(diǎn)C在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù);
(3)在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使P到A、B、C的距離和等于12?若存在,求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù);若不存在,請說明理由.
(4)在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使P到A、B、C的距離和最小?若存在,求該最小值,并求此時P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某點(diǎn)從數(shù)軸上的A點(diǎn)出發(fā),第1次向右移動1個單位長度至B點(diǎn),第2次從B點(diǎn)向左移動2個單位長度至C點(diǎn),第3次從C點(diǎn)向右移動3個單位長度至D點(diǎn),第4次從D點(diǎn)向左移動4個單位長度至E點(diǎn),…,依此類推,經(jīng)過_____次移動后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2018個單位長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】體育委員統(tǒng)計(jì)了全班同學(xué)60秒跳繩的次數(shù),并列出下面的頻數(shù)分布表:
次數(shù) | 60≤x<90 | 90≤x<120 | 120≤x<150 | 150≤x<180 | 180≤x<210 |
頻數(shù) | 16 | 25 | 9 | 7 | 3 |
(1)全班有多少同學(xué)?
(2)組距是多少?組數(shù)是多少?
(3)跳繩次數(shù)x在120≤x<180范圍的同學(xué)有多少?占全班同學(xué)的百分之幾(精確到0.1%)?
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【題目】如圖,已知線段AB=2,MN⊥AB于點(diǎn)M,且AM=BM,P是射線MN上一動點(diǎn),E,D分別是PA,PB的中點(diǎn),過點(diǎn)A,M,D的圓與BP的另一交點(diǎn)C(點(diǎn)C在線段BD上),連結(jié)AC,DE.
(1)當(dāng)∠APB=28°時,求∠B和 的度數(shù);
(2)求證:AC=AB.
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中
①當(dāng)MP=4時,取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q,若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,且Q為銳角頂點(diǎn),求所有滿足條件的MQ的值;
②記AP與圓的另一個交點(diǎn)為F,將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時,連結(jié)AG,CG,DG,EG,直接寫出△ACG和△DEG的面積之比.
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【題目】從共享單車,共享汽車等共享出行到共享充電寶,共享雨傘等共享物品,各式各樣的共享經(jīng)濟(jì)模式在各個領(lǐng)域迅速普及應(yīng)用,越來越多的企業(yè)與個人成為參與者與受益者.根據(jù)國家信息中心發(fā)布的《中國分享經(jīng)濟(jì)發(fā)展報(bào)告2017》顯示,2016年我國共享經(jīng)濟(jì)市場交易額約為34520億元,比上年增長103%;超6億人參與共享經(jīng)濟(jì)活動,比上年增加約1億人.
如圖是源于該報(bào)告中的中國共享經(jīng)濟(jì)重點(diǎn)領(lǐng)域市場規(guī)模統(tǒng)計(jì)圖:
(1)請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
①圖中涉及的七個重點(diǎn)領(lǐng)域中,2016年交易額的中位數(shù)是億元.
②請分別計(jì)算圖中的“知識技能”和“資金”兩個重點(diǎn)領(lǐng)域從2015年到2016年交易額的增長率(精確到1%),并就這兩個重點(diǎn)領(lǐng)域中的一個分別從交易額和增長率兩個方面,談?wù)勀愕恼J(rèn)識.
(2)小宇和小強(qiáng)分別對共享經(jīng)濟(jì)中的“共享出行”和“共享知識”最感興趣,他們上網(wǎng)查閱了相關(guān)資料,順便收集到四個共享經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的圖標(biāo),并將其制成編號為A,B,C,D的四張卡片(除編號和內(nèi)容外,其余完全相同)他們將這四張卡片背面朝上,洗勻放好,從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從中隨機(jī)抽取一張,請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率(這四張卡片分別用它們的編號A,B,C,D表示)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)直線y=﹣x+n與該拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D,與線段BC交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,且BE=4EC.
①求n的值;
②連接AC,CD,線段AC與線段DF交于點(diǎn)G,△AGF與△CGD是否全等?請說明理由;
(3)直線y=m(m>0)與該拋物線的交點(diǎn)為M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),點(diǎn) M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M',點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,0).若四邊形OM'NH的面積為 .求點(diǎn)H到OM'的距離d的值.
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