【題目】已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接AF、BF.
(1)求AE和BE的長(zhǎng);
(2)若將△ABF沿著射線(xiàn)BD方向平移,設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過(guò)的線(xiàn)段長(zhǎng)度).當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線(xiàn)段AB、AD上時(shí),直接寫(xiě)出相應(yīng)的m的值.
(3)如圖②,將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角(銳角),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)A′F′所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AD交于點(diǎn)P,與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn),使△DPQ為等腰三角形?若存在,求出此時(shí)DQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)4,3;(2)3,.(3)、、或.
【解析】
試題分析:(1)利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解;
(2)依題意畫(huà)出圖形,如答圖2所示.利用平移性質(zhì),確定圖形中的等腰三角形,分別求出m的值;
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,等腰△DPQ有4種情形,如答圖3所示,對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算.
試題解析:(1)在Rt△ABD中,AB=5,AD=,
由勾股定理得:BD=.
∵S△ABD=BDAE=ABAD,
∴AE=.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理得:BE=3.
(2)設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′,如圖2所示:
由對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性質(zhì)可知,∠1=∠2.
由平移性質(zhì)可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①當(dāng)點(diǎn)F′落在AB上時(shí),
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②當(dāng)點(diǎn)F′落在AD上時(shí),
∵AB∥A′B′,
∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,
又易知A′B′⊥AD,
∴△B′F′D為等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
∴BB′=BD-B′D=,即m=.
(3)存在.理由如下:
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,等腰△DPQ依次有以下4種情形:
①如答圖3-1所示,點(diǎn)Q落在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上,且PD=DQ,易知∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=.
∴DQ=BQ-BD=;
②如圖3-2所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PQ=DQ,易知∠2=∠P,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠P,
∴BA′∥PD,則此時(shí)點(diǎn)A′落在BC邊上.
∵∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,
∴F′Q=F′A′-A′Q=4-BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:BF′2+F′Q2=BQ2,
即:32+(4-BQ)2=BQ2,
解得:BQ=,
∴DQ=BD-BQ=;
③如圖3-3所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PD=DQ,易知∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,
∴∠4=90°-∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠4=90°-∠1.
∴∠A′QB=∠4=90°-∠1,
∴∠A′BQ=180°-∠A′QB-∠1=90°-∠1,
∴∠A′QB=∠A′BQ,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=,
∴DQ=BD-BQ=;
④如圖3-4所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PQ=PD,易知∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=5,
∴DQ=BD-BQ=.
綜上所述,存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q,使△DPQ為等腰三角形;
DQ的長(zhǎng)度分別為、、或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題:如圖甲,在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,求度數(shù)的大小和等邊三角形的邊長(zhǎng)
探究:解題思路是:將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),如圖乙,連接
(1)是_______三角形,是______三角形,
(2)利用可以求出的邊長(zhǎng)為_______
拓展應(yīng)用:如圖丙,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),且,,
(3)求度數(shù)的大小
(4)求正方形的邊長(zhǎng)
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C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)實(shí)數(shù)根
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【題目】福州市2011~2015年常住人口數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)福州市常住人口數(shù),2015年比2014年增加了 萬(wàn)人;
(2)與上一年相比,福州市常住人口數(shù)增加最多的年份是 年;
(3)預(yù)測(cè)2016年福州市常住人口數(shù)大約為多少萬(wàn)人?請(qǐng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩個(gè)不為零的有理數(shù)相除,如果交換它們的位置,商不變,那么( 。
A. 兩數(shù)相等 B. 兩數(shù)互為相反數(shù) C. 兩數(shù)互為倒數(shù) D. 兩數(shù)相等或互為相反數(shù)
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【題目】下列判斷正確的是( )
A. -a不一定是負(fù)數(shù) B. |a|是一個(gè)正數(shù)
C. 若|a|=a,則a>0;若|a|=-a,則a<0 D. 只有負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)
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【題目】若拋物線(xiàn)y=x2﹣2x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),則代數(shù)式a2﹣2a+2017的值為( )
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A.﹣7
B.﹣1
C.1
D.7
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