Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．

（1）求證： = ；
（2）設(shè)EF的長(zhǎng)為x．
①當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ為正方形？
②當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵四邊形EFPQ是矩形，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，∠AHF=∠ADC，

又∵AD是高，

∴∠AHF=∠ADC=90°，即AH是△AEF的高．

∴ ；

（2）

解：①若矩形EFPQ為正方形，則HD=EQ=EF=x．

∴AH=AD﹣HD=8﹣x．

又∵ ，BC=10，

∴ ．

解得 ．

∴當(dāng) 時(shí)，矩形EFPQ為正方形；

②∵HD=EQ，AD=8，

∴AH=AD﹣HD=8﹣EQ．

又∵ ，EF=x，BC=10，

∴ ．

∴ ．

∴S矩形EFPQ= ．

∵S矩形EFPQ= （0＜x＜10），

∴當(dāng)x=5時(shí)，S矩形EFPQ有最大值為20．

∴當(dāng)x=5時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為20

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出即可；（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可知HD=EQ=EF，令HD=EQ=EF=x；利用相似三角形的性質(zhì)可得 ，可得x的值；②根據(jù)矩形的面積公式，可以把面積表示成關(guān)于EF的長(zhǎng)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【考點(diǎn)精析】掌握關(guān)于仰角俯角問(wèn)題是解答本題的根本，需要知道仰角：視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角；俯角：視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角．