Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點(diǎn)C移動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P移動的路徑的長為l，△POC的面積為S，S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．

（1）結(jié)合以上信息及圖2填空：圖2中的m=______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，△POC的面積為12，求出斜邊AO即可；
（2）圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，12），得出y_E=y_D=12，此時圖2中點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合，利用三角形面積求出OB的長，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，以及利用△ABM≌△CON得出C點(diǎn)坐標(biāo)和利用勾股定理求出FO的長；
（3）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過O，B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)時，當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的邊時，當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的對角線時，分別分析得出即可．
解答：解：（1）根據(jù)圖中得出：
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，△POC的面積為12，
∴AO==，
∴m=，
故答案為：；

（2）∵圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，12），
∴y_E=y_D=12，此時圖2中點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合，
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，
∴S_△BOC==×OB×3=12．
解得 OB=8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）． 
此時作AM⊥OB于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N．
（如圖2）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（n，-3），
∴點(diǎn)C在直線y=-3上．
又∵由圖1中四邊形ODEF是等腰梯形可知圖2中的點(diǎn)C在過點(diǎn)O與AB平行的直線l上，
∴點(diǎn)C是直線y=-3與直線l的交點(diǎn)，且∠ABM=∠CON．
又∵|y_A|=|y_C|=3，即AM=CN，
可得△ABM≌△CON．
∴ON=BM=6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（6，-3）．
∵圖2中 AB===．
∴圖1中DE=，OF=2x_D+DE=． 

（3）①當(dāng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過O，B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)時，作PG⊥OB于點(diǎn)G．
（如圖3）
∵O，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），B（8，0），
∴由拋物線的對稱性可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，即OG=BG=4．由tan∠ABM===可得PG=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（4，2），
設(shè)拋物線W的解析式為y=ax（x-8）（a≠0）．
∵拋物線過點(diǎn)P（4，2），
∴4a（4-8）=2．
解得 a=．
∴拋物線W的解析式為y=+x．
②如圖4．
i）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的邊時，
∵點(diǎn)Q在直線y=-1上方的拋物線W 上，點(diǎn)P為拋物線W的頂點(diǎn)，
結(jié)合拋物線的對稱性可知點(diǎn)Q只有一種情況，點(diǎn)Q與原點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為Q₁（0，0）．
ii）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的對角線時，可知BP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），BP的中垂線的解析式為y=2x-11．
∴點(diǎn)Q₂的橫坐標(biāo)是方程+x=2x-11的解．
將該方程整理得 x²+8x-88=0．
解得x=-4±．
由點(diǎn)Q在直線y=-1上方的拋物線W上，結(jié)合圖4可知點(diǎn)Q₂的橫坐標(biāo)為-4．
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)是Q₂（-4，-19）． 
綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q₁（0，0），Q₂（-4，-19）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及菱形性質(zhì)和等腰梯形性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出梯形面積進(jìn)而得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．