Question

已知有兩張全等的矩形紙片．
（1）將兩張紙片疊合成如圖1，請判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
（2）設(shè)矩形的長是6，寬是3．當(dāng)這兩張紙片疊合成如圖2時，菱形的面積最大，求此時菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根據(jù)題意先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再由AP=AQ得平行四邊形ABCD是菱形；
（2）設(shè)BC=x，則CG=6-x，CD=BC=x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面積．

解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由題意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵兩個矩形全等，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）設(shè)BC=x，則CG=6-x，CD=BC=x，
在Rt△CDG中，CG²+DG²=CD²，
∴（6-x）²+3²=x²，
解得x=

15

4

，
∴S=BC•DG=

45

4

．

點(diǎn)評：本題是一道綜合性質(zhì)的題目，考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理和矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，是中考的常見題型．