Question

【題目】如圖1，直線AB上有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別為線段PA、PB的中點(diǎn)，AB＝14.

(1)若點(diǎn)P在線段AB上，且AP＝8，求線段MN的長度；

(2)若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動，設(shè)AP＝x，BP＝y，請分別計(jì)算下面情況時MN的長度：

①當(dāng)P在AB之間(含A或B)；

②當(dāng)P在A左邊；

③當(dāng)P在B右邊；

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

(3)如圖2，若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變，請選擇一個正確的結(jié)論并求其值．

圖1

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圖2

,

Answer 1

【答案】（1）7.（2）①點(diǎn)P在AB之間，MN＝(x＋y)；②點(diǎn)P在A左邊，MN＝(y－x)；③點(diǎn)P在BA的延長線上，MN＝(x－y)；（3）選擇②①＝ (在變化)；②＝2

【解析】

（1）由AP＝8且點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)易得MP＝AP＝4，BP=AB－AP＝6，再由點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)可知PN＝PB＝3，則MN＝MP＋PN＝7；

（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MP和NP的表達(dá)式，再根據(jù)線段的和差關(guān)系分別計(jì)算三種情況下MN的長度即可；

（3）根據(jù)線段的和差，分別可得PA-PB=AB，PA+PB=PC+AC+PC-BC=2PC，再根據(jù)分式的性質(zhì)即可判斷.

解：(1)∵AP＝8，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，

∴MP＝AP＝4，

∴BP＝AB－AP＝6.

又∵點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，

∴PN＝PB＝3，

∴MN＝MP＋PN＝7.

(2)①點(diǎn)P在AB之間，MN＝MP＋PN==(x＋y)；

②點(diǎn)P在A左邊，MN＝PN-MP=-=(y－x)；

③點(diǎn)P在BA的延長線上，MN=MP-PN=-==(x－y)．

(3)選擇②.

①，由于PC長度不固定，故 的值是變化的；

②，是定值，

故正確的結(jié)論是②，其值為2.