Question

（2011•盤(pán)錦）如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車中心O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．
（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOE=45°時(shí)，求點(diǎn)A到桌面的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
（2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，求點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過(guò)20cm所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：（1）作A₁F⊥MN于點(diǎn)F，A₁G⊥OE于點(diǎn)G，在Rt△A₁OG中，利用三角函數(shù)可求得OG，從而得出點(diǎn)A到桌面的距離A₁F；
（2）作A₂H⊥MN于H，則A₂H=20．作A₂D⊥OE于點(diǎn)D，則DE=A₂H．在Rt△A₂OD中，由特殊角的三角函數(shù)得∠A₂OD=60°，由圓的軸對(duì)稱性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．從而得出點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖（1），點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A₁的位置時(shí)∠AOE=45°．
作A₁F⊥MN于點(diǎn)F，A₁G⊥OE于點(diǎn)G，
∴A₁F=GE．（1分）
在Rt△A₁OG中，
∵∠A₁OG=45°，OA₁=10，
∴OG=OA₁•cos45°=10×

2

2

=5

2

．（2分）
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5

2

．
∴A₁F=GE=25-5

2

．（3分）
答：點(diǎn)A到桌面的距離是（25-5

2

）厘米．（4分）

（2）如圖（2），點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A₂、A₃的位置時(shí)，點(diǎn)A到桌面的距離等于20厘米．
作A₂H⊥MN于H，則A₂H=20．作A₂D⊥OE于點(diǎn)D，
∴DE=A₂H．（5分）
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A₂OD中，
∵OA₂=10，
∴cos∠A₂OD=

OD

OA2

=

5

10

=

1

2

．
∴∠A₂OD=60°．（7分）
由圓的軸對(duì)稱性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．
∴點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

120π×10

180

=

20π

3

．（9分）
答：點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

20π

3

厘米．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值以及銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)難度偏大．