. 如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)M(-2,),且P(,-2)為雙曲線上的一點(diǎn),Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn),PA垂直于x軸,QB垂直于y軸,垂足分別是A、B.
(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得△OBQ與△OAP面積相等?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ,求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值.
(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為,將點(diǎn)M(,)坐標(biāo)代入得,所以正比例函數(shù)解析式為
同樣可得,反比例函數(shù)解析式為
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線DO上運(yùn)動(dòng)時(shí),
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
于是,
而,
所以有,,解得
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為和
(3)因?yàn)樗倪呅?i>OPCQ是平行四邊形,所以OP=CQ,OQ=PC,
而點(diǎn)P(,)是定點(diǎn),所以OP的長(zhǎng)也是定長(zhǎng),所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上,所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
由勾股定理可得,
所以當(dāng)即時(shí),有最小值4,
又因?yàn)?i>OQ為正值,所以OQ與同時(shí)取得最小值,
所以OQ有最小值2.
由勾股定理得OP=,所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是
.
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