Question

已知在平面直角坐標系中，拋物線l₁的解析式為y=-x²，將拋物線l₁平移后得到拋物線l₂，若拋物線l₂經過點（3，-1），且對稱軸為x=1．
（1）求拋物線l₂的解析式；
（2）求拋物線l₂的頂點坐標；
（3）若將拋物線l₂沿其對稱軸繼續(xù)上下平移，得到拋物線l₃，設拋物線l₃的頂點坐標為B，直線OB于拋物線l₃的另一個交點為C，當OB=OC時，求C點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可設拋物線l₂的解析式：y=-（x-1）²+k，又由拋物線l₂經過點（3，-1），即可求得拋物線l₂的解析式；
（2）由拋物線l₂的解析式即可得拋物線l₂的頂點坐標；
（3）首先設l₃的解析式為：y=-（x-1）²+3+m，然后由拋物線l₃的頂點坐標為B，可求得B的坐標，又由直線OB于拋物線l₃的另一個交點為C，當OB=OC時，可得點C的坐標，然后代入函數解析式，即可求得答案．
解答：解：（1）根據題意，設拋物線l₂的解析式為：y=-（x-1）²+k，
將點（3，-1）代入函數解析式，
∴-1=-4+k，
解得：k=3，
∴拋物線l₂的解析式為：y=-（x-1）²+3；

（2）∴拋物線l₂的頂點坐標為（1，3）；

（3）設l₃的解析式為：y=-（x-1）²+3+m，
∴b點坐標為（1，3+m），
∵B，O，C三點共線且OB=OC，
∴C點坐標為（-1，-3-m），
∵C在l₃上，
∴-（-1-1）²+3+m=-3-m，
∴m=-1，
∴C點坐標為（-1，-2）．
點評：此題考查了二次函數的平移，待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的頂點坐標的求解方法等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．