Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)的直線交線段AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作OC的垂線與直線x=1相交于點(diǎn)P，設(shè)AC=t，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；
（3）當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先得出∠A=∠ABO=∠ABN=45°，進(jìn)而得出AM=CM，CN=BN，即可表示出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用矩形的性質(zhì)得出，OM=CN，進(jìn)而得出△MCO≌△NCP，即可得出OC=CP，即可得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用△PBC為等腰三角形分別當(dāng)PB=PC時(shí)，以及當(dāng)BP=BC時(shí)，求出即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作MN∥OB，分別交y軸于點(diǎn)M，直線x=1于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），即OA=OB，
∴∠A=∠ABO=∠ABN=45°，
∵CM⊥y軸，∴AM=CM，CN=BN，
∵AC=t，∴AM=MC=

2

2

t（1分），
∴MO=1-

2

2

t（1分），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

2

2

t，1-

2

2

t）（1分）；


（2）∵四邊形MOBN為矩形，
∴OM=BN，
∴OM=CN
∵∠MCO+∠NCP=90°，∠MCO+∠MOC=90°
∴∠NCP=∠MOC，
∴△MCO≌△NCP，
∴OC=CP
∴PN=

2

2

t，BN=1-

2

2

t，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），
∴y=1-

2

2

t-

2

2

t，
∴y=1-

2

t，（0≤t＜

2

）；

（3）∵△PBC為等腰三角形B（1，0），C（

2 t

2

，1-

2 t

2

），P（1，1-

2

t），
當(dāng)PB=PC時(shí)，
（

2

t-1）²=（

2 t

2

-1）²+（1-

2 t

2

-1+

2

t）²．
解得t=0，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；（2分）
當(dāng)BP=BC時(shí)，即（

2

t-1）²=（1-

2 t

2

）²+（

2 t

2

-1）²．
解得t=1，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1-

2

）（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，（3）中要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解是解決問題的關(guān)鍵．