Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點(diǎn)，DE=AD (n為大于2的整數(shù))，連接BE，作BE的垂直平分線(xiàn)分別交AD，BC于點(diǎn)F，G，F(xiàn)G與BE的交點(diǎn)為O，連接BF和EG．

(1)試判斷四邊形BFEG的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)AB=a(a為常數(shù))，n=3時(shí)，求FG的長(zhǎng)；

(3)記四邊形BFEG的面積為S1，矩形ABCD的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求n的值．(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程)

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）6.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，由AAS證明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，從而得出四邊形BFEG是菱形的結(jié)論.

（2）根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)，反復(fù)應(yīng)用勾股定理即可求得FG的長(zhǎng).

（3）同（2）的思路，應(yīng)用特殊元素法，列出關(guān)于n的方程求解即可.

試題解析：（1）（1）菱形，理由如下：

∵FG為BE的垂直平分線(xiàn)，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.

又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.

∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.

∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG為菱形.

（2）∵AB＝a，AD=2AB， ，∴AD＝2a， .

∴根據(jù)勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.

設(shè)菱形BFEG的邊長(zhǎng)為x，

∵AB2＋AF2＝BF2，

∴，解得：x＝.

∴OF＝.

∴FG＝.

（3）n＝6.