Question

如圖甲，在平面直角坐標系中，A、B的坐標分別為（4，0）、（0，3），拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點B，且對稱軸是直線x=﹣．
（1）求拋物線對應的函數(shù)解析式；
（2）將圖甲中△ABO沿x軸向左平移到△DCE（如圖乙），當四邊形ABCD是菱形時，請說明點C和點D都在該拋物線上．
（3）在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點M不與點C、D重合），經(jīng)過點M作MN∥y軸交直線CD于N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數(shù)解析式，并求當t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（﹣，），對稱軸是直線x=﹣．）

Answer 1

（1）y=x²+x+4
（2）見解析
（3）t=﹣3±2或﹣3時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形

解：（1）由于拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點B（0，4），則 c=4；
∵拋物線的對稱軸 x=﹣=﹣，
∴b=5a=；
即拋物線的解析式：y=x²+x+4．
（2）∵A（4，0）、B（3，0）
∴OA=4，OB=3，AB==5；
若四邊形ABCD是菱形，則 BC=AD=AB=5，
∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）．
將C（﹣5，3）代入y=x²+x+4中，得：×（﹣5）²+×（﹣5）+4=3，所以點C在拋物線上；
同理可證：點D也在拋物線上．
（3）設直線CD的解析式為：y=kx+b，依題意，有：
，解得
∴直線CD：y=﹣x﹣．
由于MN∥y軸，設 M（t，t²+t+4），則 N（t，﹣t﹣）；
①t＜﹣5或t＞﹣1時，l=MN=（t²+t+4）﹣（﹣t﹣）=t²+t+；
②﹣5＜t＜﹣1時，l=MN=（﹣t﹣）﹣（t²+t+4）=﹣t²﹣t﹣；
若以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，由于MN∥CE，則MN=CE=3，則有：
t²+t+=3，解得：t=﹣3±2；
﹣t²﹣t﹣=3，解得：t=﹣3；
綜上，l=
且當t=﹣3±2或﹣3時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．