Question

（2013•通州區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且-

3

2

＜x₁＜-

1

2

．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象與y軸交于點(diǎn)M，若OM=OB，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)N是x軸上的一點(diǎn)，以N、A、M為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)F在二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象上，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的平行四邊形的面積．

Answer 1

分析：（1）令y=0，即可得到關(guān)于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+4k=0，通過(guò)解方程可以求得x=2k或x=2，則由題意得到關(guān)于k的不等式-

3

2

＜2k＜-

1

2

，通過(guò)解該不等式即可求得k的取值范圍；
（2）由已知條件易求M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），所以，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可以求得k的值；
（3）此題需要分類(lèi)討論：分以AM為邊和以AM為對(duì)角線兩種情況進(jìn)行解答．

解答：解：（1）令y=0，則x²-2（k+1）x+4k=0，即（x-2k）（x-2）=0，
解方程得：x=2k或x=2，則A（2k，0），B（2，0）．
由題意得，-

3

2

＜2k＜-

1

2

，
故可得：-

3

4

＜k＜-

1

4

．

（2）∵OM=OB，B的坐標(biāo)為：（2，0），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-2），
把點(diǎn)M的坐標(biāo)分別代入y=x²-2（k+1）x+4k中，可得：4k=-2，
解得：k=-

1

2

，
故二次函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-x-2．

（3）由（2）知k=-

1

2

，則A（-1，0）．
①如圖1，當(dāng)AM為邊時(shí)，AN=MF，且AN∥MF．
由（2）知，二次函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-x-2．
∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-2），
∴當(dāng)y=-2時(shí)，-2=x²-x-2，解得x=1或x=0，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-2）或（0，-2）（與點(diǎn)M重合，舍去），
∴AN=MF=1，
此時(shí)S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
②如圖2，當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，同理證得AN=MF=1，
此時(shí)S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
③如圖3，當(dāng)AM為邊時(shí)，AE=EN，ME=FE．
設(shè)F（a，b），N（t，0），
則

a 2 = t-1 2 b-2 2 =0 b=a2-a-2

，
解得，

a= 1+ 17 2 b=2 t= 3+ 17 2

或

a= 1- 17 2 b=2 t= 3- 17 2

，
此時(shí)，S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×

3+ 17

2

+2=5+

17

，或S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×

3- 17

2

+2=5-

17

；
綜上所述，符合條件的平行四邊形的面積是：2，5+

17

或5-

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，一定要分類(lèi)討論，防止漏解或錯(cuò)解．另外，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．