(2013•通州區(qū)一模)如圖,在直角坐標(biāo)系xoy中,已知A(0,1),B(
3
,0),以線段AB為邊向上作菱形ABCD,且點D在y軸上.若菱形ABCD以每秒2個單位長度的速度沿射線AB滑行,直至頂點D落在x軸上時停止.設(shè)菱形落在x軸下方部分的面積為S,則表示S與滑行時間t的函數(shù)關(guān)系的圖象為(  )
分析:根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出OA、OB,再利用勾股定理列式求出AB,再求出菱形的高,以及菱形沿y軸方向滑落的速度和x軸方向滑落的速度,再分①點A在x軸上方時,利用三角形的面積公式表示出s與t的函數(shù)關(guān)系式,②點A在x軸下方,點C在x軸上方時,利用梯形的面積公式表示出s與t的函數(shù)關(guān)系式,③點C在x軸下方時,利用菱形ABCD的面積減去x軸上方部分的三角形的面積,列式整理得到s與t的函數(shù)關(guān)系式,從而判斷出函數(shù)圖象而得解.
解答:解:∵A(0,1),B(
3
,0),
∴OA=1,OB=
3
,
∴AB=
OA2+OB2
=
12+
3
2
=2,
∵tan∠BAO=
OB
OA
=
3
1
=
3
,
∴∠BAO=60°,
∴菱形ABCD的高為2×
3
2
=
3
,
∵菱形ABCD以每秒2個單位長度的速度沿射線AB滑行,
∴菱形沿y軸方向滑落的速度為1,
沿x軸方向滑落的速度
3

①點A在x軸上方時,落在x軸下方部分是三角形,
面積S=
1
2
•2t•
3
t=
3
t2
②點A在x軸下方,點C在x軸上方時,落在x軸下方部分是梯形,
面積S=
1
2
[t+(t-1)•1]×
3
=
3
t-
3
2
,
③點C在x軸下方時,
x軸下方部分為菱形的面積減去x軸上方部分的三角形的面積,
S=2×
3
-
1
2
(6-2t)•
3
2
(6-2t)=2
3
-
3
(3-t)2
縱觀各選項,只有A選項圖形符合.
故選A.
點評:本題考查了動點問題的函數(shù)圖象,主要利用了菱形的性質(zhì),解直角三角形,分三段得到x軸下方部分的圖形并求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
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