Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AB上（點E與點A、B不重合），過點E作FG⊥DE，F(xiàn)G與邊BC相交于點F，與邊DA的延長線相交于點G．
（1）由幾個不同的位置，分別測量BF、AG、AE的長，從中你能發(fā)現(xiàn)BF、AG、AE的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論；
（2）連接DF，如果正方形的邊長為2，設(shè)AE=x，△DFG的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）如果正方形的邊長為2，F(xiàn)G的長為

5

2

，求點C到直線DE的距離．

Answer 1

分析：（1）要尋找3條線段的數(shù)量關(guān)系，往往采用作輔助線截長或補短的方法，然后找到其中的關(guān)系，本題證明三角形全等是關(guān)鍵．
（2）由（1）可知DE=FG，∴△DGF的底與高可以關(guān)鍵勾股定理用含x的式子表示出來，所以解析式就可以表示出來．
（3）要解決本題，關(guān)鍵題意作出輔助線是關(guān)鍵，利用三角形的面積公式建立兩個不同的式子是問題解決．

解答：解：（1）BF+AG=AE．

證明：過點F作FH⊥DA，垂足為H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四邊形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=

AD2+AE2

=

4+x2

，
∵S_△DGF=

1

2

FG•DE，
∴y=

4+x2

2

，
∴解析式為：y=

4+x2

2

，定義域為0＜x＜2．

（3）連接CE，作CP⊥DE于P，S_△CDE=

1

2

CD•AD=2，
∴S_△CDE=

1

2

DE•CP=2，
∵DE=FG=

5

2

，

∴

1

2

•

5

2

•CP=2，
∴CP=

8

5

，
∴點C到直線DE的距離為

8

5

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠G=∠DEA，進而得出△FHG≌△DAE是解決問題的關(guān)鍵．作輔助線是難點．