Question

（2012•陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+

3

．
（1）如圖①，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答圖①所示；
（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達(dá)式為：S=

9

2

+

1

2

（m-n）²，可見S的大小只與m、n的差有關(guān)：
①當(dāng)m=n時，S取得最小值；
②當(dāng)m最大而n最小時，S取得最大值．m最大n最小的情形見第（1）（2）問．

解答：解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求．

（2）設(shè)正方形E′F′P′N′的邊長為x，
∵△ABC為正三角形，
∴AE′=BF′=

3

3

x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+

3

3

x+

3

3

x=3+

3

，
∴x=

9+3 3

2 3 +3

，即x=3

3

-3，
（沒有分母有理化也對，x≈2.20也正確）

（3）如圖②，連接NE、EP、PN，則∠NEP=90°．
設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），
它們的面積和為S，則NE=

2

m，PE=

2

n．
∴PN²=NE²+PE²=2m²+2n²=2（m²+n²）．
∴S=m²+n²=

1

2

PN²，
延長PH交ND于點(diǎn)G，則PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN²=PG²+GN²=（m+n）²+（m-n）²．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即

3

3

m+m+n+

3

3

n=

3

+3，化簡得m+n=3．
∴S=

1

2

[3²+（m-n）²]=

9

2

+

1

2

（m-n）²
①當(dāng)（m-n）²=0時，即m=n時，S最�。�
∴S_最小=

9

2

；
②當(dāng)（m-n）²最大時，S最大．
即當(dāng)m最大且n最小時，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m_最大=3

3

-3．
∴S_最大=

1

2

[9+（m_最大-n_最小）²]
=

1

2

[9+（3

3

-3-6+3

3

）²]
=99-54

3

…．
（S_最大≈5.47也正確）
綜上所述，S_最大=99-54

3

，S_最小=

9

2

．

點(diǎn)評：本題以位似變換為基礎(chǔ)，綜合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形邊角性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，有一定的難度．本題（1）（2）（3）問之間互相關(guān)聯(lián)，逐級推進(jìn)，注意發(fā)現(xiàn)并利用好其中的聯(lián)系．第（3）問的要點(diǎn)是求出面積和S的表達(dá)式，然后針對此表達(dá)式進(jìn)行討論，在求S最大值的過程中，利用了第（1）（2）問的結(jié)論．