Question

12．如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的半圓O交AC于D，交AB于E，連接BD，CE交于點(diǎn)F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，交BD于H，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M．下列結(jié)論：
①∠ECA=∠BEG；②BE=AE；③EH=$\frac{1}{2}$BF；④EM是⊙O的切線．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及三線合一定理即可判斷②BE=AE正確；根據(jù)垂徑定理可以證得OE⊥BD，然后證明EM∥BD，即可證得：BD⊥OE，則依據(jù)切線的判定定理可以證得④EM是⊙O的切線；利用EG是直角三角形的斜邊上的高線，則∠BEG=∠ECM，結(jié)合∠BCE=∠ACE即可證得①∠ECA=∠BEG；根據(jù)等角對(duì)等邊，可以證得EH=BH，EG=FG即可求證③EH=$\frac{1}{2}$BF．

解答 解：∵BC為直徑，
∴∠BEC=90°，即BE⊥EC，
又∵AC=BC，
∴AE=BE，
故②正確；
連接OE．
∵由以上證明過(guò)程得到CE是等腰△ABC的中垂線，則∠BCE=∠ECA，故∠BCE=∠DCE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$，
∴OE⊥BD，
∵BC是直徑，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∴EM⊥OE，
∴EM是切線．
故④正確；
∵直角△EBC中，EG⊥BC，
∴∠ECG=∠BEG，
又∵∠BCE=∠ECA，即∠ECG=∠ECA
∴∠ECA=∠BEG．
故①正確；
∵∠EBD=∠ECD（同弧所對(duì)的圓周角相等），∠BEG=∠ECA（已證），
∴∠EBH=∠BEH，
∴BH=EH，
∵∠BEG+∠GEC=∠EBD+∠EFB=90°，
∴∠HEF=∠HFE，
∴EH=FH，
∴EH=FH=BH=$\frac{1}{2}$BF，即EH=$\frac{1}{2}$BF．λ
故③正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了切線的性質(zhì)、三線合一定理、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．