Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中點(diǎn)B與點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，求證：△DMB是等腰三角形．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，M是EC上一點(diǎn)，若△DMB是等腰直角三角形，∠DMB為直角，求證：點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)．

（3）如圖3，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，線段EC上是否都存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形，若不存在，請(qǐng)舉出反例；若存在，請(qǐng)予以證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）線段EC上都存在中點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM＝DM＝EC，即可得出答案；

（2）根據(jù)AAS證明△DFM≌∠MGB，得FM＝BG，DF＝MG，根據(jù)線段的和表示EM和MC，可得結(jié)論；

（3）線段EC上都存在中點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△DFM≌∠MGB（SAS），得BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，再證明∠DMB＝90°，可得結(jié)論．

(1)如圖1，∵∠EDC=90°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，

∴DM=EC．

同理可得：BM=EC．

∴DM=BM，

∴△DMB是等腰三角形；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥EA，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC，

∵△ABC和△ADE是兩個(gè)等腰直角三角形，

∴BG=GC=AG，DF=EF=FA，

∴∠DFM=∠BGM=90°，

∴∠FDM+∠DMF=90°，

∵△DMB是等腰直角三角形，

∴DM=BM，∠DMB=90°，

∴∠BMG+∠DMF=90°，

∴∠FDM=∠BMG，

∴△DFM≌∠MGB(AAS)，

∴FM=BG，DF=MG，

∵BG=GC，DF=EF，

∴FM=GC，MG=EF，

∵EM=EF+FM，MC=MG+GC，

∴EM=MC，

∴點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)；

(3)線段EC上都存在中點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形，

理由是：取AE中點(diǎn)F，AC中點(diǎn)G，連接FD，FM，BG，GM，

∵點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，

∴GM=AE，GM∥AE，BG⊥AC，∠BGC=90，

∵F是AE中點(diǎn)，

∴AF=AE，DF⊥AE，∠DFE=90，

∴AF∥GM，AF=GM，

∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∴∠AFM=∠AGM，

∴∠EFM=∠MGC．

∵∠DFM=∠EFM+∠DFE=∠EFM+90，

∠BGM=∠MGC+∠BGC=∠MGC+90，

∴∠DFM=∠BGM，

∵GM=AF=DF，

∴DF=GM，

同理可得 BG=FM，

∴△DFM≌∠MGB(SAS)，

∴BM=DM，∠FMD=∠GBM，

∵FM∥AC，

∴∠FMG=∠CGM，

∴∠DMB=∠FMD+∠FMG+∠GMB，

=∠GBM+∠CGM+∠GMB，

=180°﹣∠BGC，

=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形．