Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，AB=4

2

，BC=3，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，且CF=

2

，E，是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，將射線EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交BC邊于點(diǎn)G．
（1）直接寫出線段AD和CD的長；
（2）設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時(shí)△BEG是等腰三角形；
（3）當(dāng)△BEG是等腰三角形時(shí)，將△BEG沿EG折疊，得到△B′EG，求△B′EG與五邊形AEGCD重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CK⊥AB于K，易證四邊形AKCD是矩形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和45°角的正弦值計(jì)算即可；
（2）當(dāng)△BEG為等腰三角形時(shí)，有三種情況，分別是當(dāng)GE=GB時(shí)、當(dāng)BE=BG時(shí)、當(dāng)EG=EB時(shí)要分別討論求出符合題意的x值即可；
（3）由（2）可知三種情況的x值，再有_重疊=S_梯形EBCF-S_△BEG和S_重疊=S_△BEG分別計(jì)算求出△B’EG與五邊形AEGCD重疊部分的面積為

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CK⊥AB于K，（如圖1）
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴四邊形AKCD是矩形，
∴DC=AK，AD=CK，
∵∠B=45°，BC=3，
∴CK=BK，
∴sinB=

CK

BC

=

2

2

，
∴CK=BK=

3 2

2

，
∴AD=

3 2

2

，
∵CD=AK=AB-BK=4

2

-

3 2

2

，
∴CD=

5 2

2

；
（2）當(dāng)△BEG為等腰三角形時(shí)，有三種情況，
①當(dāng)GE=GB時(shí)，∠GEB=∠B=45°，
∵∠FEG=45°，
∴∠FEB=∠FEG+∠BEG=45°+45°=90°，
∴∠AEF=90°，
∵∠A=∠D=90°，
易證四邊形AEFD為矩形，
∴AE=DF=CD-CF=

5 2

2

-

2

=

3 2

2

，
②當(dāng)BE=BG時(shí)，連接AF，
∵AD=DF=

3 2

2

，
∴∠DAF=∠DAF=45°，
∴∠FAE=90°-45°=45°，
∵∠B=45°，
∴∠B=∠FAE，
∵∠FEG=45°，
∴∠AEF+∠BEG=135°，
又∵∠BEG+∠BGE=135°，
∴∠AEF=∠BGE，
∴△AEF∽△BGE，
∴

AE

BG

=

AF

BE

，
當(dāng)BE=BG時(shí)，則AE=AF=3，
③當(dāng)EG=EB時(shí)，
∴∠EGB=∠B=45°，
∴∠GEB=90°，
∵∠FEG=45°，
∴∠FEB=90°+45°=135°，
∴∠FEB+∠B=180°，
∴FE∥BC，
∵CF∥BE，
∴四邊形CBEF是平行四邊形，
∴BE=CF=

2

，
∴AE=AB-BE=4

2

-

2

=3

2

，
綜上：當(dāng)x=

3 2

2

或3或3

2

時(shí)，△BEG為等腰三角形；
（3）①當(dāng)GE=GB時(shí)（如圖2），
S_重疊=S_梯形EBCF-S_△BEG
=

1

2

×(

2

+

5 2

2

)×

3 2

2

-

1

2

×

5

2

×

5

2

=

17

8

，
②當(dāng)BE=BG時(shí)（如圖3），
S_重疊=S_△BEG
過點(diǎn)G，作GH⊥AB，垂足為H，
由（2）知：BG=BE=4

2

-3，
易求得GH=

2

2

BG=

2

2

（4

2

-3）=4-

3 2

2

，
∴S_重疊=

1

2

×(4

2

-3)(4-

3 2

2

)=

41 2 -48

4

，
③當(dāng)EG=EB時(shí)，②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖（4），此時(shí)△B′EG與五邊形AEGCD重疊部分面積為△B′EG面積．
∠FEG=∠GEB=45°，EF∥BC，又CF∥BE，
∴四邊形EBCF是平行四邊形，
∴BE=CE=

2

，
∴S_重疊=

1

2

×（

2

）²=1，
綜上所述，△B’EG與五邊形AEGCD重疊部分的面積為

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

點(diǎn)評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性極強(qiáng)，對學(xué)生解題的能力要求很高，解題的關(guān)鍵是對特殊幾何圖形的性質(zhì)和判定要熟爛于心和對分類討論數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用．