Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．
（1）求證：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的長(zhǎng)；
（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長(zhǎng)．
（3）分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由△ABC、△BEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最小值．

解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．

（2）Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=8cm，
∵△ACD∽△BAC，∴

DC

AC

=

AC

AB

，
即

DC

8

=

8

10

，解得：DC=6.4cm．

（3）過點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，
∴△ACB∽△EGB，
∴

EG

AC

=

BE

AB

，即

EG

8

=

t

10

，故EG=

4

5

t；
y=S_△ABC-S_△BEF
=

1

2

×6×8-

1

2

(10-2t)•

4

5

t=

4

5

t2-4t+24
=

4

5

(t-

5

2

)2+19；
故當(dāng)t=

5

2

時(shí)，y的最小值為19．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，能夠?qū)⒚娣e問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解答（3）題的關(guān)鍵．