Question

已知．如圖，BC為半圓O的直徑，F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點，A是

BF

的中點，AD⊥BC于點D，BF交AD于點E．
（1）求證：BE•BF=BD•BC；
（2）試比較線段BD與AE的大小，并說明道理．

Answer 1

分析：（1）連接FC，根據(jù)有兩組角相等的兩個三角形相似得到△BDE∽△BFC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．
（2）連接AC，AB，根據(jù)圓周角定理及余角的性質(zhì)可得到BE=AE，由已知可知BE＞BD，從而就得到AE＞BD．

解答：（1）證明：連接FC，∵BC為半圓O的直徑
則BF⊥FC
∵∠BFC=∠BDE=90°，∠FBC=∠EBD
∴△BDE∽△BFC
∴BE：BC=BD：BF
∴BE•BF=BD•BC

（2）解：AE＞BD．理由如下：
連接AC，AB，則∠BAC=90°
∵A是

BF

的中點
∴∠ABF=∠ACB
∵∠ACB+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°
∴∠ACB=∠BAD
∴∠BAD=∠ABF
∴BE=AE
∵BE＞BD
∴AE＞BD

點評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定及圓周角定理等知識點的綜合運用．