【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,G分別在邊AB,對角線BD上,EG∥AD,F(xiàn)為GD的中點,連結(jié)FC,請利用勾股定理的逆定理,證明EF⊥FC.
【答案】證明見解析
【解析】試題分析:作FH⊥AB于點H,延長HF交CD于點I,作FK⊥AD于點K,連接EC,則四邊形FIDK是正方形,四邊形AKFH是矩形,由EG∥AD,F(xiàn)為GD的中點,可得點H是AE的中點,進而可得:HE=AH=FK=DK=DI=FI,HF=BH=IC=AK,然后由勾股定理分別表示EF2,F(xiàn)C2,EC2,最后根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△EFC是直角三角形,進而可證EF⊥FC.
試題解析:如圖,過點F作FH⊥AB于點H,F(xiàn)K⊥AD于點K,延長HF交CD于點I.由題意易得四邊形FIDK是正方形,四邊形AKFH是長方形,
∴AK=HF,KD=DI=FI=KF=AH.
∵AD=CD,∴IC=AK=HF.
∵AD∥FH∥EG,F(xiàn)是DG的中點,
∴易證得HA=HE,∴HE=FI.
在Rt△HEF和Rt△FIC中,由勾股定理,得
EF2=HE2+HF2,F(xiàn)C2=FI2+IC2,
∴EF2+FC2=HE2+HF2+FI2+IC2=2HE2+2HF2.
在Rt△BCE中,由勾股定理,得
EC2=BE2+BC2.
∵BE2=(AB-AE)2=(AD-2HE)2
=(HF+FI-2HE)2=(HF+HE-2HE)2
=(HF-HE)2=HF2-2HF·HE+HE2,
BC2=(HF+FI)2=(HF+HE)2
=HF2+2HF·HE+HE2,
∴EC2=BE2+BC2=HF2-2HF·HE+HE2+HF2+2HF·HE+HE2
=2HE2+2HF2,
即EF2+FC2=EC2,
∴△EFC是直角三角形,且∠EFC=90°,
∴EF⊥FC.
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【題目】儀征市某活動中心組織一次少年跳繩比賽,各年齡組的參賽人數(shù)如表所示:
年齡組 | 12歲 | 13歲 | 14歲 | 15歲 |
參賽人數(shù) | 5 | 19 | 13 | 13 |
則全體參賽選手年齡的中位數(shù)是歲.
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【題目】如圖,O為直線AB上一點,∠DOE=90°,OD是∠AOC的角平分線,若∠AOC=70°.
(1)求∠BOD的度數(shù).
(2)試判斷OE是否平分∠BOC,并說明理由.
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【題目】觀察如圖所示的圖形,并閱讀相關(guān)文字信息后回答下列問題:
2條直線相交,最多有1個交點;3條直線相交,最多有3個交點;4條直線相交,最多有6個交點.
(1)8條直線相交,最多有幾個交點?
(2)設(shè)有n條直線相交,最多有y個交點,請用含n的代數(shù)式表示y.
(3)當最多交點個數(shù)為4950時,此時直線有幾條?
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【題目】如圖,C是AB的中點,D、E分別是AC、BC的中點,下列結(jié)論錯誤的是( )
A.AC=2CE
B.AB﹣AD=2CD
C.AD= DB
D.DE= AB
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【題目】如圖,⊙O的直徑AB的長為2,點C在圓周上,∠CAB=30°,點D是圓上一動點,DE∥AB交CA的延長線于點E,連接CD,交AB于點F.
(1)如圖1,當∠ACD=45°時,求證:DE是⊙O的切線;
(2)如圖2,當點F是CD的中點時,求△CDE的面積.
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【題目】甲、乙兩輛摩托車同時從相距20km的A,B兩地出發(fā),相向而行.圖中l(wèi)1,l2分別表示甲、乙兩輛摩托車到A地的距離s(km)與行駛時間t(h)的函數(shù)關(guān)系.則下列說法錯誤的是( )
A.乙摩托車的速度較快
B.經(jīng)過0.3小時甲摩托車行駛到A,B兩地的中點
C.經(jīng)過0.25小時兩摩托車相遇
D.當乙摩托車到達A地時,甲摩托車距離A地km
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