(2013•貴陽)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一條直線l:y=-
3
3
x+4
與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N,一個(gè)高為3的等邊三角形ABC,邊BC在x軸上,將此三角形沿著x軸的正方向平移.
(1)在平移過程中,得到△A1B1C1,此時(shí)頂點(diǎn)A1恰落在直線l上,寫出A1點(diǎn)的坐標(biāo)
3
,3)
3
,3)
;
(2)繼續(xù)向右平移,得到△A2B2C2,此時(shí)它的外心P恰好落在直線l上,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在這樣的點(diǎn),與(2)中的A2、B2、C2任意兩點(diǎn)能同時(shí)構(gòu)成三個(gè)等腰三角形?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形ABC的高為3,得出A1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,再代入y=-
3
3
x+4
即可;
(2)設(shè)P(x,y),連接A2P并延長交x軸于點(diǎn)H,連接B2P,先求出A2B2=2
3
,HB2=
3
,根據(jù)點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心,得出PH=1,將y=1代入y=-
3
3
x+4
,即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心,得出△PA2B2,△PB2C2,△PA2C2是等腰三角形,得P(3
3
,1),由(2)得,C2(4
3
,0),點(diǎn)C2滿足直線y=-
3
3
x+4
的關(guān)系式,得出點(diǎn)C2與點(diǎn)M重合,∠PMB2=30°,設(shè)點(diǎn)Q滿足的條件,△QA2B2,△B2QC2,△A2QC2能構(gòu)成等腰三角形,則QA2=QB2,B2Q=B2C2,A2Q=A2C2,作QD⊥x軸與點(diǎn)D,連接QB2,根據(jù)QB2=2
3
,∠QB2D=2∠PMB2=60°,求出Q(
3
,3),設(shè)點(diǎn)S滿足的條件,△SA2B2,△C2B2S,△C2SA2是等腰三角形,則SA2=SB2,C2B2=C2S,C2A2=C2S,作SF⊥x軸于點(diǎn)F,根據(jù)SC2=2
3
,∠SB2C2=∠PMB2=30°,求出S(4
3
-3,
3
),
設(shè)點(diǎn)R滿足的條件,△RA2B2,△C2B2R,△C2A2R能構(gòu)成等腰三角形,則RA2=RB2,C2B2=C2R,C2A2=C2R,作RE⊥x軸于點(diǎn)E,根據(jù)RC2=2
3
,∠RC2E=∠PMB2=30°,R(4
3
+3,-
3
).
解答:解:(1)∵等邊三角形ABC的高為3,
∴A1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,
∵頂點(diǎn)A1恰落在直線l上,
∴3=-
3
3
x+4
,
解得;x=
3
,
∴A1點(diǎn)的坐標(biāo)是(
3
,3),
故答案為:(
3
,3);

(2)設(shè)P(x,y),連接A2P并延長交x軸于點(diǎn)H,連接B2P,
在等邊三角△A2B2C2中,高A2H=3,
∴A2B2=2
3
,HB2=
3
,
∵點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心,
∴∠PB2H=30°,
∴PH=1,即y=1,
將y=1代入y=-
3
3
x+4
,
解得:x=3
3
,
∴P(3
3
,1);

(3)∵點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心,
∴△PA2B2,△PB2C2,△PA2C2是等腰三角形,
∴點(diǎn)P滿足的條件,由(2)得P(3
3
,1),
由(2)得,C2(4
3
,0),點(diǎn)C2滿足直線y=-
3
3
x+4
的關(guān)系式,
∴點(diǎn)C2與點(diǎn)M重合,
∴∠PMB2=30°,
設(shè)點(diǎn)Q滿足的條件,△QA2B2,△B2QC2,△A2QC2能構(gòu)成等腰三角形,
此時(shí)QA2=QB2,B2Q=B2C2,A2Q=A2C2
作QD⊥x軸與點(diǎn)D,連接QB2
∵QB2=2
3
,∠QB2D=2∠PMB2=60°,
∴QD=3,
∴Q(
3
,3),
設(shè)點(diǎn)S滿足的條件,△SA2B2,△C2B2S,△C2SA2是等腰三角形,
此時(shí)SA2=SB2,C2B2=C2S,C2A2=C2S,
作SF⊥x軸于點(diǎn)F,
∵SC2=2
3
,∠SB2C2=∠PMB2=30°,
∴SF=
3

∴S(4
3
-3,
3
),
設(shè)點(diǎn)R滿足的條件,△RA2B2,△C2B2R,△C2A2R能構(gòu)成等腰三角形,
此時(shí)RA2=RB2,C2B2=C2R,C2A2=C2R,
作RE⊥x軸于點(diǎn)E,
∵RC2=2
3
,∠RC2E=∠PMB2=30°,
∴ER=
3
,
∴R(4
3
+3,-
3
),
答:存在四個(gè)點(diǎn),分別是P(3
3
,1),Q(
3
,3),S(4
3
-3,
3
),R.(4
3
+3,-
3
).
點(diǎn)評(píng):此題考查了一次函數(shù)綜合,用到的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形、外心、坐標(biāo)等,關(guān)鍵是綜合應(yīng)用有關(guān)性質(zhì),求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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5
3
5
3
cm.

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