【題目】如圖,已知線段AB∥CD,AD與BC相交于點(diǎn)K,E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn).
(1)若BK= KC,求 的值;
(2)連接BE,若BE平分∠ABC,則當(dāng)AE= AD時(shí),猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明.再探究:當(dāng)AE= AD(n>2),而其余條件不變時(shí),線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論,不必證明.

【答案】
(1)解:∵BK= KC,

=

又∵CD∥AB,

∴△KCD∽△KBA,

= =


(2)解:當(dāng)BE平分∠ABC,AE= AD時(shí),AB=BC+CD;

證明:取BD的中點(diǎn)為F,連接EF交BC于G點(diǎn),

由中位線定理,得EF∥AB∥CD,

∴G為BC的中點(diǎn),∠GEB=∠EBA,

又∵∠EBA=∠GBE,

∴∠GEB=∠GBE,

∴EG=BG= BC,而GF= CD,EF= AB,

∵EF=EG+GF,

即: AB= BC+ CD;

∴AB=BC+CD;

同理,當(dāng)AE= AD(n>2)時(shí),EF∥AB,

同理可得: = ,則BG= BC,則EG=BG= BC,

= = ,則GF= CD,

= = ,

+ CD= AB,

∴BC+CD=(n﹣1)AB,

故當(dāng)AE= AD(n>2)時(shí),BC+CD=(n﹣1)AB.


【解析】(1)由已知得 = ,由CD∥AB可證△KCD∽△KBA,利用 = 求值;(2)AB=BC+CD.作△ABD的中位線,由中位線定理得EF∥AB∥CD,可知G為BC的中點(diǎn),由平行線及角平分線性質(zhì),得∠GEB=∠EBA=∠GBE,則EG=BG= BC,而GF= CD,EF= AB,利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系;當(dāng)AE= AD(n>2)時(shí),EG=BG= BC,而GF= CD,EF= AB,EF=EG+GF可得BC+CD=(n﹣1)AB.
【考點(diǎn)精析】掌握角平分線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)在方程①,,中,不等式組 的伴隨方程是 ;(填序號(hào))

(2)如圖,M、N都是關(guān)于的不等式組的伴隨點(diǎn),求的取值范圍.

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