【題目】如圖1,Pm,n是拋物線y=-1上任意一點(diǎn),l是過點(diǎn)0,-2且與x軸平行的直線,過點(diǎn)P作直線PHl,垂足為H

【探究】

1填空:當(dāng)m=0時,OP= ,PH= ;當(dāng)m=4時,OP= ,PH= ;

【證明】

2對任意m,n,猜想OP與PH的大小關(guān)系,并證明你的猜想

【應(yīng)用】

3如圖2,已知線段AB=6,端點(diǎn)A,B在拋物線y=-1上滑動,求A,B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值

【答案】1OP=1,PH=1;OP=5,PH=52OP=PH證明見解析.(36

【解析

試題1m記為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m=0時,直接代入x=0,得P0,-1,則OP,PH長易知當(dāng)m=4時,直接代入x=4,得P4,3,OP可有勾股定理求得,PH=yP--2).

2猜想OP=PH證明時因?yàn)镻為所有滿足二次函數(shù)y=-1的點(diǎn),一般可設(shè)m,-1).類似1利用勾股定理和PH=yP--2可求出OP與PH,比較即得結(jié)論

3考慮2結(jié)論,即函數(shù)y=-1的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于其到l的距離要求A、B兩點(diǎn)到l距離的和,即A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的和,若AB不過點(diǎn)O,則OA+OB>AB=6,若AB過點(diǎn)O,則OA+OB=AB=6,所以O(shè)A+OB≥6,即A、B兩點(diǎn)到l距離的和≥6,進(jìn)而最小值即為6

試題解析:1解:OP=1,PH=1;OP=5,PH=5

如圖1,記PH與x軸交點(diǎn)為Q,

當(dāng)m=0時,P0,-1).此時OP=1,PH=1

當(dāng)m=4時,P4,3).此時PQ=3,OQ=4,

OP==5,PH=yP--2=3--2=5

2猜想:OP=PH

證明:過點(diǎn)P作PQx軸于Q,

P在二次函數(shù)y=-1上,

設(shè)Pm,-1,則PQ=|-1|,OQ=|m|,

∵△OPQ為直角三角形,

OP=,

PH=yP--2=-1--2=,

OP=PH

3解:如圖2,連接OA,OB,過點(diǎn)A作ACl于C,過點(diǎn)B作BDl于D,此時AC即為A點(diǎn)到l的距離,BD即為B點(diǎn)到l的距離

當(dāng)AB不過O點(diǎn)時,連接OA,OB,

OAB中,OA+OB>AB=6,

由上述結(jié)論得:AC=OA,BD=OB,

AC+BD>6;

當(dāng)AB過O點(diǎn)時,AC+BD=OA+OB=AB=6,

所以AC+BD的最小值為6,

即A,B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6

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