Question

【題目】如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點(diǎn)A正好落在BC上的E處，E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求AD的長；

（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAD的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）AD=5；（3）（5，）

【解析】

試題（1）利用矩形的性質(zhì)和B點(diǎn)的坐標(biāo)可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)AD=x，利用折疊的性質(zhì)可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得AD的長；（3）由于O、A兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，所以連接OD，與對稱軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法可求得直線OD的解析式，再由拋物線解析式可求得對稱軸方程，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，B（10，8），

∴A（10，0）， 又拋物線經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x；

（2）由題意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8， 設(shè)AD=x，則ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，

在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5， ∴AD=5；

（3）∵y=﹣x2+x， ∴其對稱軸為x=5， ∵A、O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱， ∴PA=PO，

當(dāng)P、O、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，PA+PD=PO+PD=OD，此時(shí)△PAD的周長最小，

如圖，連接OD交對稱軸于點(diǎn)P，則該點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，

由（2）可知D點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，5），

設(shè)直線OD解析式為y=kx，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可得5=10k，解得k=， ∴直線OD解析式為y=x，

令x=5，可得y=， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，）．