【題目】如圖1,已知拋物線yax2+2x+ca0),與y軸交于點(diǎn)A0,6),與x軸交于點(diǎn)B6,0).

1)求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若在此拋物線上有且只有三個(gè)P點(diǎn)使得△PAB的面積是定值S,求這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及定值S

3)若點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)P是(2)中位于直線AB上方的點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得P、Q、BF為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+6,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(28);(2)點(diǎn)P'3+3,﹣3),P'33,﹣+3),S;(3)存在,點(diǎn)Q7,﹣)或(﹣1)或(5,).

【解析】

(1)將交點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求解;

(2)設(shè)AB上方的拋物線上有點(diǎn)P,過點(diǎn)PAB的平行線交對(duì)稱軸于點(diǎn)C,且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)區(qū)PC解析式與拋物線解析式組成方程組,由△=0,可求PC解析式,可求點(diǎn)P坐標(biāo),由等底等高的三角形面積相等,可得另兩個(gè)點(diǎn)所在直線與ABPC都平行,且與AB的距離等于PCAB的距離,可求P'E的解析式,即可求解;

(3)分兩種情況討論,由平行四邊形的性質(zhì)可求解.

解:(1)∵拋物線yax2+2x+ca0),與y軸交于點(diǎn)A0,6),與x軸交于點(diǎn)B6,0).

∴拋物線解析式為:y=﹣x2+2x+6,

y=﹣x2+2x+6=﹣x22+8,

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8

(2)∵點(diǎn)A0,6),點(diǎn)B6,0),

∴直線AB解析式y=﹣x+6,

當(dāng)x2時(shí),y4,

∴點(diǎn)D24

如圖1,設(shè)AB上方的拋物線上有點(diǎn)P,過點(diǎn)PAB的平行線交對(duì)稱軸于點(diǎn)C,且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)為P,

設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b,

∴﹣x2+2x+6=﹣x+b,且只有一個(gè)交點(diǎn),

∴△=94××(b6)=0

b

∴直線PC解析式為y=﹣x+,

∴當(dāng)x2,y,

∴點(diǎn)C坐標(biāo)(2,),

CD,

∵﹣x2+2x+6=﹣x+,

x3,

∴點(diǎn)P3,

∵在此拋物線上有且只有三個(gè)P點(diǎn)使得△PAB的面積是定值S

∴另兩個(gè)點(diǎn)所在直線與AB,PC都平行,且與AB的距離等于PCAB的距離,

DECD,

∴點(diǎn)E2,﹣),

設(shè)P'E的解析式為y=﹣x+m

∴﹣=﹣2+m,

m

P'E的解析式為y=﹣x+,

∴﹣x2+2x+6=﹣x+

x3±3,

∴點(diǎn)P'3+3,﹣3),P'33,﹣+3),

S×6×(3)=

(3)設(shè)點(diǎn)Qx,y

PB是對(duì)角線,

P、Q、BF為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

BPFQ互相平分,

x7

∴點(diǎn)Q7,﹣);

PB為邊,

P、QB、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

BFPQ,BFPQ,或BQFPBQPF,

xBxFxPxQ,或xBxQxPxF,

xQ3﹣(62)=﹣1,或xQ6﹣(32)=5

∴點(diǎn)Q(﹣1,)或(5,);

綜上所述,點(diǎn)Q7,﹣)或(﹣1)或(5,).

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