Question

【題目】如圖，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結(jié)EF．
（1）證明：EF=CF；
（2）當(dāng) 時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正方形ABGD，

又∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC，

且AD=GD，

在△ADE與△GDC中，

，

∴△ADE≌△GDC（ASA）．

∴DE=DC，且AE=GC．

在△EDF和△CDF中，

，

∴△EDF≌△CDF（SAS）．

∴EF=CF

（2）解：∵ ，

∴AE=GC=2．

設(shè)EF=x，則BF=8﹣CF=8﹣x，BE=6﹣2=4．

由勾股定理，得x2=（8﹣x）2+42．

解之，得x=5，

即EF=5

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）設(shè)EF=x，根據(jù)勾股定理解答即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．