(2013•濟南)如圖1,拋物線y=-
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x2+bx+c與x軸相交于點A,C,與y軸相交于點B,連接AB,BC,點A的坐標為(2,0),tan∠BAO=2,以線段BC為直徑作⊙M交AB與點D,過點B作直線l∥AC,與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E,F(xiàn).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求點C的坐標和線段EF的長;
(3)如圖2,連接CD并延長,交直線l于點N,點P,Q為射線NB上的兩個動點(點P在點Q的右側(cè),且不與N重合),線段PQ與EF的長度相等,連接DP,CQ,四邊形CDPQ的周長是否有最小值?若有,請求出此時點P的坐標并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值;若沒有,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)點A的坐標和tan∠BAO=2求得AO=2,BO=4,從而求得點B的坐標為(0,4),利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可.
(2)首先根據(jù)拋物線的對稱軸求得點A的對稱點C的坐標,然后求得點B的對稱點E的坐標為(-1,4),從而求得BE的長,得到EF的長即可;
(3)作點D關于直線l的對稱點D1(1,6),點C向右平移2個單位得到C1(-1,0),連接C1D1與直線l交于點P,點P向左平移兩個單位得到點Q,四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形.
解答:解:(1)∵點A(2,0),tan∠BAO=2,
∴AO=2,BO=4,
∴點B的坐標為(0,4).
∵拋物線y=-
2
3
x2+bx+c過點A,B,
-
8
3
+2b+c=0
c=4
,
解得
b=-
2
3
c=4

∴此拋物線的解析式為y=-
2
3
x2-
2
3
x+4.

(2)∵拋物線對稱軸為直線x=-
1
2
,
∴點A的對稱點C的坐標為(-3,0),
點B的對稱點E的坐標為(-1,4),
∵BC是⊙M的直徑,
∴點M的坐標為(-
3
2
,2),
如圖2,過點M作MG⊥FB,則GB=GF,
∵M(-
3
2
,2),
∴BG=
3
2
,
∴BF=2BG=3,
∵點E的坐標為(-1,4),
∴BE=1,
∴EF=BF-BE=3-1=2.

(3)四邊形CDPQ的周長有最小值.
理由如下:∵BC=
OC2+OB2

=
32+42
=5,AC=CO+OA=3+2=5,
∴AC=BC,
∵BC為⊙M直徑,
∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,
∴D為AB中點,
∴點D的坐標為(1,2).
作點D關于直線l的對稱點D1(1,6),點C向右平移2個單位得到C1(-1,0),連接C1D1與直線l交于點P,點P向左平移兩個單位得到點Q,四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形.
設直線C1D1的函數(shù)表達式為y=mx+n(m≠0),
-m+n=0
m+n=6
m=3
n=3
,
∴直線C1D1的表達式為y=3x+3,
∵yp=4,
∴xp=
1
3
,
∴點P的坐標為(
1
3
,4);
C四邊形CDPQ最小=2
5
+2
10
+2.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合知識,特別是題目中求根據(jù)對稱軸求某點關于對稱軸的對稱點更是中考的熱點考題之一,應加強訓練.
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