(2013•濟(jì)南)如圖1,在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC=67.5°,△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對稱,點M為邊AC上的一個動點(重合),點M關(guān)于AB所在直線的對稱點為N,△CMN的面積為S.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)設(shè)CM=x,求S與x的函數(shù)表達(dá)式,并求x為何值時S的值最大?
(3)S的值最大時,過點C作EC⊥AC交AB的延長線于點E,連接EN(如圖2),P為線段EN上一點,Q為平面內(nèi)一點,當(dāng)以M,N,P,Q為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出所有滿足條件NP的長.
分析:(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB,根據(jù)軸對稱求出∠DAB即可;
(2)求出AN=AM=4-x,根據(jù)三角形面積公式求出即可;
(3)根據(jù)勾股定理求出MN,MO、NO,EA,EN,分為三種情況:①當(dāng)以MN為對角線時,此時P在E上,此時NP=NE,②以MN為一邊時,以N為圓心,以MN為半徑畫弧交NE于P,此時MN=NP;③以MN為一邊時,過M作MZ⊥NE于Z,則PZ=NZ,證△ENO∽△MNZ,求出ZN=
2
5
5
,得出NP=2ZN.
解答:解:(1)∵AB=AC,∠ABC=67.5°,
∴∠ACB=∠ABC=67.5°,
∴∠CAB=180°-67.5°-67.5°=45°,
∵△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對稱,
∴∠DAB=∠CAB=45°,
∴∠CAD=45°+45°=90°.

(2)由(1)知:AN⊥AM,
∵點M、N關(guān)于AB所在直線對稱,
∴AM=AN,
∵CM=x,
∴AN=AM=4-x,
∴S=
1
2
×CM×AN=
1
2
x(4-x),
∴S=-
1
2
x2+2x,
∴當(dāng)x=-
2
2×(-
1
2
)
=2時,S有最大值.

(3)∵CE⊥AC,
∴∠ECA=90°,
∵∠CAB=45°,
∴∠CEA=∠EAC=45°,
∴CE=AC=4,
在Rt△ECA中,AC=EC=4,由勾股定理得:EA=
42+42
=4
2

∵AM=AN,∠CAB=∠DAB,
∴AO⊥MN,MO=NO,
在Rt△MAN中,AM=AN=4-2=2,由勾股定理得:MN=
22+22
=2
2
,
∴MO=NO=
2

由勾股定理得:AO=
22-(
2
)2
=
2
,
∴EO=4
2
-
2
=3
2

在Rt△EON中,EO=3
2
,MO=
2
,由勾股定理得:EM=
(3
2
)2+(
2
)2
=2
5
,
分為三種情況:①當(dāng)以MN為對角線時,此時P在E上,即NP=NE=2
5
;

②以MN為一邊時,以N為圓心,以MN為半徑畫弧交NE于P,

此時NP=MN=2
2
;
③以MN為一邊時,

過M作MZ⊥NE于Z,則PZ=NZ,
∵AO⊥MN,
∴∠EON=∠MZN=90°,
∵∠ENO=∠MNZ,
∴△ENO∽△MNZ,
EN
MN
=
NO
ZN
,
2
5
2
2
=
2
ZN
,
∴ZN=
2
5
5
,
∴NP=2ZN=
4
5
5

即所有滿足條件NP的長是2
5
或2
2
4
5
5
點評:本題考查了勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)和判定,軸對稱性質(zhì),菱形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力.
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(1)求直線BD的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求線段OF的長;
(3)連接BF,OE,試判斷線段BF和OE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求點C的坐標(biāo)和線段EF的長;
(3)如圖2,連接CD并延長,交直線l于點N,點P,Q為射線NB上的兩個動點(點P在點Q的右側(cè),且不與N重合),線段PQ與EF的長度相等,連接DP,CQ,四邊形CDPQ的周長是否有最小值?若有,請求出此時點P的坐標(biāo)并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值;若沒有,請說明理由.

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