【題目】(問題情境)
徐老師給愛好學習的小敏和小捷提出這樣一個問題:
如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分線.求證:AB+BD=AC
小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2)…
小捷的證明思路是:延長CB至點E,使BE=AB,連接AE. 可以證得:AE=DE(如圖3)…
請你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明.
(變式探究)
“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”,其它條件不變.(如圖4),AB+BD=AC成立嗎?若成立,請證明;若不成立,寫出你的正確結論,并說明理由.
(遷移拓展)
△ABC中,∠B=2∠C. 求證:AC2=AB2+ABBC. (如圖5)
【答案】見解析
【解析】
試題問題情境:小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠DAB=∠DAE,再證明△ADB≌ADE就可以得出結論;小捷的證明思路是:延長CB至點E,使BE=AB,連接AE.就可以得出∠E=∠C,就有AE=AC,進而得出AE=ED即可;
變式探究:CD上截取DE=DB,連結AE,由AD⊥BC就可以得出AE=AB,∠AED=∠B,由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC,進而得出結論;
遷移拓展:過點A作AD⊥BC于D.由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=BC(CD﹣BD),由(2)的結論就可以得出AC2﹣AB2=BC(CD﹣BD)=BCAB即可.
解:問題情境:小敏的證明思路是:如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2)
∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠BAD=∠EAD.
在△ABD和△AED中,
,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,∠ABD=∠AED
∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴DE=EC,
即AB+BD=AC;
小捷的證明思路是:如圖3,延長CB至點E,使BE=AB,連接AE.
∴∠E=∠BAE.
∵∠ABC=∠E+∠BAE,
∴∠ABC=2∠E.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠E=∠C,
∴△AEC是等腰三角形.
∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠BAD=∠DAC.
∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE
∴∠ADE=∠DAE,
∴EA=ED=AC,
∴AB+BD=AC;
變式探究:
AB+BD=AC不成立 正確結論:AB+BD=CD…(5分)
理由:如圖4,在CD上截取DE=DB,連結AE,
∵AD⊥BC,
∴AD是BE的中垂線,
∴AE=AB,
∴∠B=∠AED.
∵∠AED=∠C+∠CAE,且∠B=2∠C,
∴∠C=∠CAE,
∴AE=EC.
即AB+BD=CD;
遷移拓展:
證明:如圖5,過點A作AD⊥BC于D.由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,
∴AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=(CD+BD)(CD﹣BD)=BC(CD﹣BD)
∵AB+BD=CD,
∴CD﹣BD=AB,
∴AC2﹣AB2=BC(CD﹣BD)=BCAB,
即AC2=AB2+ABBC.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長是4,點E是AB邊上一動點,連接CE,過點B作BG⊥CE于點G,點P是AB邊上另一動點,則PD+PG的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商城銷售A,B兩種自行車.A型自行車售價為2 100元/輛,B型自行車售價為1 750元/輛,每輛A型自行車的進價比每輛B型自行車的進價多400元,商城用80 000元購進A型自行車的數(shù)量與用64 000元購進B型自行車的數(shù)量相等.
(1)求每輛A,B兩種自行車的進價分別是多少?
(2)現(xiàn)在商城準備一次購進這兩種自行車共100輛,設購進A型自行車m輛,這100輛自行車的銷售總利潤為y元,要求購進B型自行車數(shù)量不超過A型自行車數(shù)量的2倍,總利潤不低于13 000元,求獲利最大的方案以及最大利潤.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y1=ax2﹣x+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,),拋物線y1的頂點為G,GM⊥x軸于點M.將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2.
(1)求拋物線y2的解析式;
(2)如圖2,在直線l上是否存在點T,使△TAC是等腰三角形?若存在,請求出所有點T的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)點P為拋物線y1上一動點,過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q,點Q關于直線l的對稱點為R,若以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等,求直線PR的解析式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在10×10正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位.將△ABC向下平移4個單位,得到△A′B′C′,再把△A′B′C′繞點C'順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A″B″C′,
(1)請你畫出△A′B′C′和△A″B″C′(不要求寫畫法).
(2)求出線段A′C′在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.(結果保留)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等邊三角形,點D在邊AB上.
(1)如圖1,當點E在邊BC上時,求證DE=EB;
(2)如圖2,當點E在△ABC內(nèi)部時,猜想ED和EB數(shù)量關系,并加以證明;
(3)如圖3,當點E在△ABC外部時,EH⊥AB于點H,過點E作GE∥AB,交線段AC的延長線于點G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D為AC邊上的中點,過D點作DE⊥DF,交AB于點E,交BC于點F,若AE=8,FC=6.
(1)求EF的長.
(2)求四邊形BEDF的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動點,則PC+PQ的最小值是( )
A. B. 4 C. D. 5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市用5000元購進某種干果銷售,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥9000元資金購進該種干果,但這次每千克的進價比第一次的進價提高了5元,購進干果數(shù)量是第一次的1.5倍.
(1)該種干果的第一次進價是每千克多少元?
(2)如果超市按每千克40元的價格出售,當大部分干果售出后,余下的100千克按售價的6折售完,超市銷售這種干果共盈利多少元?
(3)如果這兩批干果每千克售價相同,且全部售完后總利淘不低于25%,那么每千克干果的售價至少是多少元?
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