Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）當(dāng)A（﹣1，0），C（0，﹣3）時(shí)，求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）P（m，t）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′落在直線BC上時(shí)，求m的值；

②當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′落在第一象限內(nèi)，P′A2取得最小值時(shí)，求m的值及這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）①m=；②P′A2取得最小值時(shí)，m的值是，這個(gè)最小值是．

【解析】

（1）根據(jù)A（﹣1，0），C（0，﹣3）在拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象上，可以求得b、c的值；

（2）①根據(jù)題意可以得到點(diǎn)P′的坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BC的解析式，再根據(jù)點(diǎn)P′落在直線BC上，從而可以求得m的值；

②根據(jù)題意可以表示出P′A2，從而可以求得當(dāng)P′A2取得最小值時(shí)，m的值及這個(gè)最小值．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；

（2）①由P（m，t）在拋物線上可得：t=m2﹣2m﹣3．

∵點(diǎn)P和P′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴P′（﹣m，﹣t），當(dāng)y=0時(shí)，0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，由已知可得：點(diǎn)B（3，0）．

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），設(shè)直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=kx+d，，解得：，∴直線BC的直線解析式為y=x﹣3．

∵點(diǎn)P′落在直線BC上，∴﹣t=﹣m﹣3，即t=m+3，∴m2﹣2m﹣3=m+3，解得：m=；

②由題意可知，點(diǎn)P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞0，﹣t＞0，∴m＜0，t＜0．

∵二次函數(shù)的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜0．

∵點(diǎn)P（m，t）在拋物線上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴t+3=m2﹣2m，過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥x軸，H為垂足，有H（﹣m，0）．

又∵A（﹣1，0），則P′H2=t2，AH2=（﹣m+1）2．在Rt△P′AH中，P′A2=AH2+P′H2，∴P′A2=（﹣m+1）2+t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+，∴當(dāng)t=﹣時(shí)，P′A2有最小值，此時(shí)P′A2=，∴=m2﹣2m﹣3，解得：m=．

∵m＜0，∴m=，即P′A2取得最小值時(shí)，m的值是，這個(gè)最小值是．