Question

如圖，已知過(guò)A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)．
（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，線段PQ的長(zhǎng)度為2？
（2）寫出線段PQ長(zhǎng)度的平方y(tǒng)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；
（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否可能出現(xiàn)PQ⊥MN？若有可能，求出此時(shí)間t；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）是否存在時(shí)間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似？若存在，求出此時(shí)間t；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△PQM中利用勾股定理，PM²+MQ²=PQ²，即可列方程求得t的值；
（2）根據(jù)（1）中的式子即可直接求解；
（3）首先求得直線MN的解析式，PQ⊥MN則兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)乘積是-1，據(jù)此即可求解；
（4）分當(dāng)△PMQ∽△MON和△QMP∽△MON，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵A（2，4），
∴OM=AN=2，AM=ON=4，
∵點(diǎn)P1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是2個(gè)單位每分鐘，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是4個(gè)單位每分鐘．
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，則PM=2-2t，MQ=4t，
在直角△PQM中，PM²+MQ²=PQ²，即（2-2t）²+16t²=4，解得：t=

2

5

或0（舍去），
即經(jīng)過(guò)

2

5

秒，線段PQ的長(zhǎng)度為2；

（2）y=（2-2t）²+16t²，即y=20t²-8t+4；

（3）M的坐標(biāo)是（2，0），N的坐標(biāo)是（0，4），
設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b，則

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
則直線MN的解析式是：y=-2x+4，
當(dāng)PQ⊥MN時(shí)：

4t

2-2t

=

1

2

，解得：t=

1

5

，
即當(dāng)t=

1

5

時(shí)，PQ⊥MN；

（4）當(dāng)△PMQ∽△MON時(shí)，

PM

OM

=

MQ

ON

，即：

2-2t

2

=

4t

4

，解得：t=

1

2

；
當(dāng)△QMP∽△MON時(shí)，

QM

OM

=

MP

ON

，即

4t

2

=

2-2t

4

，解得：t=

1

5

．
故當(dāng)t=

1

2

或

1

5

時(shí)，P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理、一次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．