Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，求直線AB與這個二次函數(shù)的解析式；

（3）在直線AB上方的拋物線上有一動點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AB的距離DE最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求DE最大距離是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，△＞0，即4+4m＞0，

∴m＞﹣1；

（2）

解：∵點(diǎn)A（3，0）在拋物線y=﹣x2+2x+m上，

∴﹣9+6+m=0，∴m=3．

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，且B（0，3），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b中，得到

，

解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+3；

（3）

解：過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為C，再過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，

∵AB為定值，∴當(dāng)DE的值越大時，S△ADB的面積越大，

設(shè)D（x，y），DC=x，BC=y﹣3，DG=3﹣x，AG=y

∴S△ADB=S梯形AGCB﹣S△BDC﹣S△ADG，

∴S△ADB= ﹣ （y﹣3）x﹣ （3﹣x）y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵a=﹣ ＜0，

∴當(dāng) 時，S△ADB的最大值= ，

將 代入y=﹣x2+2x+3，得到 ，即D（ ， ），

又∵S△ADB= DEAB，且AB= =3 ，

∴ ×3 DE= ．

∴DE= ，

答：DE的最大值為 ．

【解析】（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，△＞0，即可得到結(jié)論；（2）把點(diǎn)A（3，0）代入y=﹣x2+2x+m得到﹣9+6+m=0得到B（0，3），解方程組即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為C，再過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，得到當(dāng)DE的值越大時，S△ADB的面積越大，設(shè)D（x，y），DC=x，BC=y﹣3，DG=3﹣x，AG=y根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的最值和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．即可以解答此題．