Question

如圖1，△ABC是等邊三角形，點M是邊BC的中點，∠AMN=60°，且MN交三角形外角的平分線CN于點N、求證：AM=MN．
思路點撥：取的AB中點P，連接PM，易證△APM≌△MCQ從而AM=MN．
如圖2，四邊形ABCD是正方形，點M是邊BC的中點，CN是正方形ABCD的外角∠DCQ的平分線．
①填空：當∠AMN=______°時，AM=MN；
②證明①的結論．
請根據例題和問題（1）的解題過程，在正五邊形ABCDE中推廣出一個類似的真命題．（請在圖3中作出相應圖形，標注必要的字母，并寫出已知和結論，無需證明．）

Answer 1

（1）解：①填空：當∠AMN=90°時，AM=MN；

②證明：取的AB中點P，連接PM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PAM+∠AMB=90°，
∵∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠PAM=∠CMN，
∵點M是邊BC的中點，
點P是邊AB的中點，
AB=BC，
∴AP=MC，
BP=BM，
∵∠B=90°，
∴△BPM是等腰直角三角形，
∴∠BPM=45°，
∴∠APM=135°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCQ=90°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠MCN=135°，
∴∠APM=∠MCN，
∴△APM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）正五邊形ABCDE中點M是邊BC的中點，CN是正五邊形ABCDE的外角∠DCQ的平分線，當∠AMN=108°．
求證：AM=MN．
（圖形和文字均正確得，否則不得分）
分析：（1）當∠AMN=90°時，AM=MN．取的AB中點P，連接PM，根據正方形的性質，四邊相等，四個角都是直角，以及直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半等結論，最后能證明△APM≌△MCQ從而得到結論．
（2）根據例題和問題（1）可知都是取一個邊的中點，所以正五邊形ABCDE中點M是邊BC的中點，CN是正五邊形ABCDE的外角∠DCQ的平分線，當∠AMN=108°．求證：AM=MN．
點評：本題考查理解題意能力，根據例題可類比做其他題目，本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質．