Question

11．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s．
（1）幾秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm？
（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？
（3）設(shè)△CPQ的面積為S₁，△ABC的面積為S₂，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S₁：S₂=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)系式，解方程即可；
（3）用t分別表示出CP、CQ，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，
則CP=2xcm，CQ=（25-x）cm，
由題意得，（2x）²+（25-x）²=25²，
解得，x₁=10，x₂=0（舍去），
則10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm；
（2）設(shè)y秒后△PCQ與△ABC相似，
當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{2y}{30}$=$\frac{25-y}{25}$，
解得，y=$\frac{75}{8}$，
當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)，$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{2y}{25}$=$\frac{25-y}{30}$，
解得，y=$\frac{125}{17}$，
故$\frac{75}{8}$秒或$\frac{125}{17}$秒后△PCQ與△ABC相似；
（3）△CPQ的面積為S₁=$\frac{1}{2}$×CQ×CP=$\frac{1}{2}$×2t×（25-t）=-t²+25t，
△ABC的面積為S₂=$\frac{1}{2}$×AC×BC=375，
由題意得，5（-t²+25t）=375×2，
解得，t₁=10，t₂=15，
故運(yùn)動(dòng)10秒或15秒時(shí)，S₁：S₂=2：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確解出一元二次方程是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．