如圖1,已知菱形ABCD的邊長為,點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)D的坐標(biāo)為(- ,3),拋物線y=ax2+b(a≠0)經(jīng)過AB、CD兩邊的中點(diǎn).
(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式;
(2)將菱形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移(如圖2),過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F,連接DF、AF.設(shè)菱形ABCD平移的時(shí)間為t秒(0<t< 3 )
①是否存在這樣的t,使△ADF與△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
②連接FC,以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心,將△FEC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,得△FE′C′,當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中(包括邊界)時(shí),求t的取值范圍.(寫出答案即可)
解:(1)由題意得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3 ,0),CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),
分別代入y=ax2+b,得,解得, 。
∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+3。
(2)①存在。如圖2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC= ,
∴ !唷螩=60°,∠CBE=30°!郋C=BC=,DE=。
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°!唷螦DC=180°-60°=120°
要使△ADF與△DEF相似,則△ADF中必有一個(gè)角為直角。
(I)若∠ADF=90°,∠EDF=120°-90°=30°。
在Rt△DEF中,DE=,得EF=1,DF=2。
又∵E(t,3),F(xiàn)(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。
∵t>0,∴t=1 。
此時(shí),∴。
又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF。
(II)若∠DFA=90°,可證得△DEF∽△FBA,則。
設(shè)EF=m,則FB=3-m。
∴ ,即m2-3m+6=0,此方程無實(shí)數(shù)根。∴此時(shí)t不存在。
(III)由題意得,∠DAF<∠DAB=60°,∴∠DAF≠90°,此時(shí)t不存在。
綜上所述,存在t=1,使△ADF與△DEF相似。
②。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(浙江臺(tái)州卷)數(shù)學(xué)(帶解析) 題型:解答題
如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”
(1)請(qǐng)用直尺與圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”;
(2)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,,求證:△ABC是“好玩三角形”;
(3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),以相同的速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為s
①當(dāng)β=45°時(shí),若△APQ是“好玩三角形”,試求的值;
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi),點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)過程中,有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”?請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍。
(4)本小題為選做題
依據(jù)(3)中的條件,提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過程中,tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題(“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年四川省眉山市中考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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