Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（-，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜）
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB和CD的中點坐標，然后利用待定系數(shù)法求該二次函數(shù)的解析式；
（2）本問是難點所在，需要認真全面地分析解答：
①如圖2所示，△ADF與△DEF相似，包括三種情況，需要分類討論：
（I）若∠ADF=90°時，△ADF∽△DEF，求此時t的值；
（II）若∠DFA=90°時，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可以求得相應的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此時t不存在；
②如圖3所示，畫出旋轉后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據(jù)限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關鍵．
解答：解：（1）由題意得AB的中點坐標為（-，0），CD的中點坐標為（0，3），
分別代入y=ax²+b得
，
解得，，
∴y=-x²+3．                                      

（2）①如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2
∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=                                
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角．
（I）若∠ADF=90°
∠EDF=120°-90°=30°
在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．
又∵E（t，3），F(xiàn)（t，-t²+3），∴EF=3-（-t²+3）=t²
∴t²=1，∵t＞0，∴t=1                                    
此時=2，，
∴，
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF                                  
（II）若∠DFA=90°，
可證得△DEF∽△FBA，則
設EF=m，則FB=3-m
∴，即m²-3m+6=0，此方程無實數(shù)根．
∴此時t不存在；                                        
（III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°，此時t不存在．                              
綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似；
②如圖3所示，依題意作出旋轉后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N．
觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區(qū)域內(nèi)，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3-t²），∴EF=3-（3-t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，
由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤．
∵C′E′=CE=，∴C′點的橫坐標為t-，
∴MN=3-（t-）²，又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t²，
由MN≥C′N，得3-（t-）²≥3-2t²，解得t≥或t≤--3（舍）．
∴t的取值范圍為：．
點評：本題是動線型中考壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、幾何變換（平移與旋轉）、菱形的性質、相似三角形的判定與性質等重要知識點，難度較大，對考生能力要求很高．本題難點在于第（2）問，（2）①中，需要結合△ADF與△DEF相似的三種情況，分別進行討論，避免漏解；（2）②中，確定“限制條件”是解題關鍵．