Question

12．已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE=AF，連結(jié)AC交EF于點(diǎn)O，延長OC至點(diǎn)M，使OM=OA，連結(jié)EM，F(xiàn)M．
（1）判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論；
（2）若正方形的邊長為3cm，BE=DF=1cm，求四邊形AEMF的面積．

Answer 1

分析 （1）用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DF，求出CE=CF，再判斷AEMF是平行四邊形，再結(jié)合AM⊥EF即可得到結(jié)論；
（2）利用勾股定理求出AE和EF的長度，進(jìn)而求出AM的長，最后根據(jù)菱形的面積公式求出答案．

解答 （1）解：四邊形AEMF是菱形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF （HL），
∴BE=DF，
∵在正方形ABCD中，∠1=∠2，BC=DC，

∴CE=CF，
∴AC⊥EF，且EO=FO，
∵OM=OA，
∴四邊形AEMF是平行四邊形，
又∵AM⊥EF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．
（2）解：∵AB=BC=DC=3，BE=DF=1，
∴CE=CF=2，
∴在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△ABE中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形AEMF是菱形，
∴EO=$\sqrt{2}$，且EO⊥AO，
∴AO=$\sqrt{A{E}^{2}-E{O}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AM=4$\sqrt{2}$，
∴菱形AEMF的面積為：S=$\frac{1}{2}$EF•AM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8（cm²）．

點(diǎn)評 本題主要考查對正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．