Question

如圖所示，A、B兩村莊位于河流（直線(xiàn)L）的兩側(cè)．
（1）為促進(jìn)兩村民相互交往，A、B兩村村委會(huì)商議，在河上架一座橋，然后各村都修一條通往橋的公路．請(qǐng)問(wèn)橋架在何處，才能使修路和架橋總造價(jià)最低？（要求：在河上標(biāo)出架橋位置，并寫(xiě)出所依據(jù)的數(shù)學(xué)原理．）
（2）A村決定，把河流L中的水引到村子，以方便村民用水和灌溉農(nóng)田．怎樣修建引水渠，才能使引水渠最短？請(qǐng)你幫助A村畫(huà)出飲水線(xiàn)路圖，并寫(xiě)出所依據(jù)的數(shù)學(xué)原理．

Answer 1

分析：（1）雖然A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連接AB的線(xiàn)段不垂直于河岸．關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來(lái)，要用線(xiàn)段公理就要想辦法使P與D重合起來(lái)，利用平行四邊形的特征可以實(shí)現(xiàn)這一目的；
（2）根據(jù)從直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)上各點(diǎn)所連的線(xiàn)段中垂線(xiàn)段最短，畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A的垂線(xiàn)段即可．

解答：解：（1）如圖，作BB'垂直于河岸L，使BB′等于河寬，
連接AB′，與河岸EF相交于P，作PD⊥L，
則PD∥BB′且PD=BB′，
于是四邊形PDBB′為平行四邊形，故PD=BB′．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，AB′最短，即AP+BD最短；

（2）如圖，AM即為所求線(xiàn)段．

點(diǎn)評(píng)：（1）考查了軸對(duì)稱(chēng)---最短路徑問(wèn)題，要利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線(xiàn)段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的問(wèn)題．目前，往往利用對(duì)稱(chēng)性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線(xiàn)段轉(zhuǎn)化的方法．
（2）考查了從直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)上各點(diǎn)所連的線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短在生活中的應(yīng)用．