Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，則我們把（m°，n°）叫做點(diǎn)P 的“雙角坐標(biāo)”．例如，點(diǎn)（1，1）的“雙角坐標(biāo)”為（45°，90°）．

（1）點(diǎn)（）的“雙角坐標(biāo)”為_____；

（2）若點(diǎn)P到x軸的距離為，則m+n的最小值為_____．

Answer 1

【答案】（60°，60°） 90

【解析】

（1）分別求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度數(shù)，從而得出答案；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，OA中點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與直線y＝相切于點(diǎn)P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此時(shí)∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．

解：（1）∵P（，），OA＝1，

∴tan∠POA＝ ＝，tan∠PAO＝＝，

∴∠POA＝60°，∠PAO＝60°，

即點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”為（60°，60°），

故答案為：（60°，60°）；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，

則∠OPA需取得最大值，

如圖，

∵點(diǎn)P到x軸的距離為，OA＝1，

∴OA中點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與直線y＝相切于點(diǎn)P，

在直線y＝上任取一點(diǎn)P′，連接P′O、P′A，P′O交圓于點(diǎn)Q，

∵∠OPA＝∠1＞∠OP′A，

此時(shí)∠OPA最大，∠OPA＝90°，

∴m+n的最小值為90，

故答案為：90．