Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于A（﹣2，0），點B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線上的一動點，且在直線BC的上方，當S△MBC取得最大值時，求點M的坐標；

（3）在直線的上方，拋物線是否存在點M，使四邊形ABMC的面積為15？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）（2，4）；（3）存在，（1，）或（3，）

【解析】

（1）拋物線的表達式為：：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），故-8a=4，即可求解；

（2）根據(jù)題意列出S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，即可求解；

（3）四邊形ABMC的面積S＝S△ABC+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，，即可求解.

解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4；

（2）過點M作MH∥y軸交BC于點H，

將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+4，

設(shè)點M（x，﹣x2+x+4），則點H（x，﹣x+4），

S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，此時點M（2，4）；

（3）四邊形ABMC的面積S＝S△ABC+S△BCM＝×6×4+（﹣x2+4x）＝15，

解得：x＝1或3，故點M（1，）或（3，）．