Question

已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC 交線段AE于F．
（1）如圖1，若AE=AD，∠ADC=60°，請直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足等量關(guān)系；
（2）如圖2，若AE=AD，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，若成立，對你的結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若AE：AD=a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根據(jù)SAS證△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；
（2）與（1）證法類似，根據(jù)SAS證△ABE≌△DGA，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠GFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；
（3）延長EA到G，使得=，連接DG，根據(jù)兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形相似，推出△ABE∽△DGA，推出∠1=∠2，DG=AB，代入即可求出答案．
解答：（1）解：CD=AF+BE，
理由是：延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAE=90°，
∴∠DAG=90°，
在△ABE和△DGA中

∴△ABE≌△DGA，
∴DG=AB=CD，∠1=∠2，
∵平行四邊形ABCD，AE⊥BC，
∴∠B=∠ADC=60°=∠G，AE⊥AD，
∴∠1=∠2=30°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3=∠4=30°，
∴∠AFD=60°=∠GDF，
∴DG=GF=AF+AG，
∴CD=AB=DG=AF+BE，
即CD=AF+BE．

（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．
證明：延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
在△ABE和△DGA中

∴△ABE≌△DGA，
∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，
∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，
∴∠GDF=∠GFD，
∴GF=GD=AB=CD，
∵GF=AF+AG=AF+BE，
∴CD=AF+BE．

（3）bCD=aAF+bBE，
理由是：延長EA到G，使得=，連接DG，
即AG=BE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
即∠AEB=∠GAD=90°，
∵==，
∴△ABE∽△DGA，
∴∠1=∠2，=，
∴∠GFD=90°-∠3，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=GF，
∵=，AB=CD（已證），
∴bCD=aDG=a（BE+AF），
即 bCD=aAF+bBE．
點評：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識點的運用，本題綜合性比較強，有一定的難度，但主要考查學生的類比推理的思想，主要檢查學生能否找出解（1）（2）（3）的解題思路，注意：解題思路的相似之處�。�